机器学习周志华--自助法bootstrapping中的极限公式

在西瓜书的第二章，讲了几种常用的对数据集进行划分而产生训练集$S$ 和测试集$T$ 的方法，其中就有一个自助法。
自助法：其实就是通过有放回采样产生训练集，没有被采样到的作为测试集。书中描述，给定包含m个样本的数据集$D$ ，每次从$D$ 中采样一个样本，拷贝后放入$D^{\prime }$ 中，采样m次，得到包含m个样本的数据集$D^{\prime }$。
明显D中有一部分样本会多次出现，而另一部分样本不出现。
于是估计样本在m次采样中始终不被采到的概率

${\lim }_{m\to \infty }{\left(1-\frac{1}{m}\right)}^m\to \frac{1}{e}\approx 0.368$

这个公式不算困难，只要你记得下面两个重要的极限公式中的第二个，稍加推导就可以推导出来。
两个重要的极限公式

1. ${\lim }_{m\to 0}\frac{\sin m}{m}=1$
2. ${\lim }_{x\to 0}{\left(1+x\right)}^{\frac{1}{x}}=e$

对于书上所给的公式
另$m=\frac{1}{t}$ ,那么书上的公式就转换如下：

${\lim }_{t\to 0}{\left(1-t\right)}^{\frac{1}{t}}$
$={\lim }_{t\to 0}{\left({\left(1+(-t)\right)}^{\frac{1}{-t}}\right)}^{-1}$
因为这里t趋近于0，那么-t也趋近于0，因此上式也即在-t趋近0的条件下求极限。
所以上式=$\frac{1}{e}\approx 0.368$