loj2542「PKUWC2018」随机游走

题目描述

给定一棵 nn 个结点的树,你从点 xx 出发,每次等概率随机选择一条与所在点相邻的边走过去。

有 QQ 次询问,每次询问给定一个集合 SS,求如果从 xx 出发一直随机游走,直到点集 SS 中所有点都至少经过一次的话,期望游走几步。

特别地,点 xx(即起点)视为一开始就被经过了一次。

答案对 998244353998244353 取模。

输入格式

第一行三个正整数 n,Q,xn,Q,x

接下来 n-1n1 行,每行两个正整数 (u,v)(u,v) 描述一条树边。

接下来 QQ 行,每行第一个数 kk 表示集合大小,接下来 kk 个互不相同的数表示集合 SS

输出格式

输出 QQ 行,每行一个非负整数表示答案。

数据范围与提示

对于 20\%20% 的数据,有 1\leq n,Q\leq 51n,Q5

另有 10\%10% 的数据,满足给定的树是一条链。

另有 10\%10% 的数据,满足对于所有询问有 k=1k=1

另有 30\%30% 的数据,满足 1\leq n\leq 10 ,Q=11n10,Q=1

对于 100\%100% 的数据,有 1\leq n\leq 181n181\leq Q\leq 50001Q50001\leq k\leq n1kn

 

  • 题解:

    • 单点询问可以用高斯消元;
    • 这个做法直接扩展到集合的话可以求出到$S$中任意一个点的期望步数;
    • 如果对于一种状态,记录$S$中每个点被走到的步数$t$;
    • 那么$S$中每个点都走到就是$t$的最大值,而刚刚求出来的是$t$的最小值;
    • 套用最值反演:$max{S} = \sum_{T \subseteq S ,T \neq \emptyset }  (-1)^{|T|-1} min{T}$;
    • 现在只需要快速求出到$S$中任意一个点的期望步数,设$f_{u}$为$u$到$S$的期望步数:
    • 可以得到:
    • $f_{u} = \frac{1}{d_{u}}  \sum_{v} f_{v} + 1 $
    • 这里$v$表示和$u$相邻的点;
    • 由于是一颗树,单独考虑父亲;
    • $f_{u} = \frac{1}{d_{u}} f_{fa} + \frac{1}{d_{u}} \sum_{v}f_{v} + 1$ ①
    • 这里$v$表示$u$的儿子节点;
    • 假设已经处理好了$u$的儿子,为了能够递推,将式子写成:
    • $f_{u} = A_{u}f_{fa} + B_{u}$ ②
    • 那么$A_{v}$和$B_{v}$是已经处理好的,对①中的$v$用②,再对比化简的①和②:
    • $$f_{u} = \frac{1}{d_{u} - \sum_{v}A_{v} } f_{fa} + \frac{d_{u} + \sum_{v}B_{v} }{d_{u} - \sum_{v} A_{v}}$$
    • 这样就可以$O(n)$递推$AB$
    • 用$fmt$处理反演部分的话,复杂度就是:$O(n2^n \ + \ q )$;
  •  1 #include
     2 #define mod 998244353
     3 using namespace std;
     4 const int N=20,M=100010;
     5 int n,q,s,S,num[1<<18],f[1<<18],o=1,hd[N],A[N],B[N],d[N],inv[M];
     6 struct Edge{int v,nt;}E[N<<1];
     7 void adde(int u,int v){
     8     E[o]=(Edge){v,hd[u]};hd[u]=o++;
     9     E[o]=(Edge){u,hd[v]};hd[v]=o++; 
    10 }
    11 inline int Inv(int x){return x<1e5?inv[x]:1ll*(mod-mod/x)*Inv(mod%x)%mod;}
    12 void dfs(int u,int fa){
    13     if(S&1<<(u-1)){A[u]=B[u]=0;return;}
    14     int s1=0,s2=0;
    15     for(int i=hd[u];i;i=E[i].nt){
    16         int v=E[i].v;
    17         if(v==fa)continue;
    18         dfs(v,u);
    19         s1=(s1+A[v])%mod,s2=(s2+B[v])%mod;
    20     }
    21     A[u]=Inv((d[u]-s1+mod)%mod);
    22     B[u]=1ll*A[u]*(s2+d[u])%mod;
    23 }
    24 int main(){
    25     #ifndef ONLINE_JUDGE
    26     freopen("loj2542.in","r",stdin);
    27     freopen("loj2542.out","w",stdout);
    28     #endif
    29     scanf("%d%d%d",&n,&q,&s);
    30     inv[1]=1;
    31     for(int i=2;i<=1e5;++i)inv[i]=1ll*(mod-mod/i)*inv[mod%i]%mod;
    32     for(int i=1,u,v;ii){
    33         scanf("%d%d",&u,&v);
    34         adde(u,v);
    35         d[u]++,d[v]++;
    36     }
    37     for(int i=1;i<1<i){
    38         S=i;dfs(s,0);
    39         num[i]=num[i>>1]+(i&1);
    40         f[i]=(num[i]&1)?B[s]:(mod-B[s])%mod;
    41     }
    42     for(int i=0;ii)
    43     for(int j=1<1<j){
    44         if(j>>i&1)f[j]=(f[j]+f[j^(1<mod;
    45     }
    46     for(int i=1,k;i<=q;++i){
    47         scanf("%d",&k);
    48         S=0;for(int j=1,x;j<=k;++j)scanf("%d",&x),S^=1<<(x-1);
    49         printf("%d\n",f[S]);
    50     }
    51     return 0;
    52 }
    View Code

     

转载于:https://www.cnblogs.com/Paul-Guderian/p/10385848.html

你可能感兴趣的:(python)