AI 建模师 素养手冊(3)
精通 ML 的关键： 欧式空间对映
By 高焕堂 / AI 建模师俱乐部会长
文章目录
- 前言
- 一、认识空间对映(Space-mapping)
- 二、空间对映的范例
- 三、观察 X 和 Y 空间，表现于 W 空间
- 四、ML 观察 X 和 Y 空间，探索最适
- 总结
前言
*** 本文摘自 高焕堂 的下列书籍 ***
*** 以及北京【电子世界杂志】连载专栏 ***
一、认识空间对映(Space-mapping)
空间对映(Mapping)的涵意
ML(Machine Learning)的目的并不是拿数据来运算，而是在于〈观察〉 在此 X 空间里数据的大小、分布及重复出现频率(次数)等。每一笔数 据成为空间里的一个点，而每一笔的字段(特征)成为空间的维度 (Dimension)。于是，各笔数据的特征值成为该点的坐标值。
所以，您所观察、收集的数成为 ML 所看到的点(代表人看到自然界空 间的实际事物)的坐标值(如经纬度)。ML 观察这个 X 数据空间，如同 地理师在观察一个区域的风水，看出其龙脉、建物高低大小颜色形状、密度等等。
人类看到自然空间的实际事物，收集这些事物的特征，提供给 ML。 而 ML 则透过这些(训练)数据来(间接)观察实际事物。这些 X 数据并不 是 ML 拿来计算的目标，而是成为 X 空间里的坐标，来观察自然空间 里实际事物之间的关联性(Correlation)。
例如，所谓数据分析、回归分析等都是 ML 透过数据空间(如同故乡照 片)来间接观察自然空间(如同家乡)里的实际事物之间的关联性。
从 X 空间到 Y 空间映射(Mapping)就是把 X 空间的原始数据(代表自 然空间的实物)投影到 Y 空间。就如同把故乡(实物空间)的照片(X 空间 原始数据)放到投影机上投影到白板(Y 空间)上。人们可以设定投射的 角度、亮度等参数；还可以加上过虑镜片等等。
自然空间里人们所感兴趣的一项事物，并收集其特征，就成为一笔原 始资料(Raw data)。自然空间里的一项(人们所感兴趣的)实际事物各 对映到一笔原始资料。亦即各对映到 X 空间里的一点；然后再映射(过 滤)到 Y 空间；还可再从 Y 空间映射(过滤)到 z 空间。
由于 ML 和人一样都有记忆、比较的能力，所以在逐笔从 X 对映到 Y 空间的过程中，可以抽象出各笔之间的共相(共通性)。因此在持续映 射的过程中，会不断强化其对共性的记忆强度。
就如同一位见多识广、阅历愈丰富的人，其心中会从经验中累积(强化) 其所观察过事物的共同法则(即共相)。这也就是专家直觉的基础源头。 此时，在这个 X*W+B=Y 的对映公式，扮演核心角色。
现在就从简单的空间对映(Space Mapping)出发
例如：
其 mapping 公式：
以及：
以及：
其实，这里的空间，只是人人都知道的二维坐标平面：
这是 ML 的基础知识。
我们的基本动作就是，替每一行(Column)的数据，配上一个权重(Wn)：
然后，ML 的任务就是找出最适合的 W。
现在，演练一下，假如您是 AI，您来找找 W：
W0 和 W1 可以为正或负。其空间对映如下：
请问您找出适合的 W0 和 W1 值为何呢? “适合”意味着，可能有多 个适合的答案。也请说明，何者最适合。理由是什么?
请继续练习：
其空间对映如下：
请问您找出适合的 W0 和 W1 值为何呢? “适合”意味着，可能有多 个适合的答案。也请说明，何者最适合。理由是什么?
请继续练习：
其空间对映如下：
请问您找出适合的 W0 和 W1 值为何呢? “适合”意味着，可能有多 个适合的答案。也请说明，何者最适合。理由是什么?
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二、空间对映的范例
从简单的空间对映(Space Mapping)出发。精通 ML 的关键知识是：
潜藏空间(Latent Space)。例如：
其 mapping 公式：
以及：
其实，这里的空间，只是人人都知道的二维坐标平面和一维坐标数线：
这是 ML 的基础知识。
我们的基本动作就是，替每一行(Column)的数据，配上一个权重：
然后，ML 的任务就是找出最适合的 W。
换句话说，ML 在其 W 空间里寻找出最适合的[w0, w1]。这也可表示 成为维 W 空间里的一个坐标点。
于是，总共有 3 个空间：
X 空间就像，Y 空间就像，而 W 空间就像把考题与 答案进行”连连看”的。如下图：
现在，X和 Y都是已知了。就让 ML 来。
于是 ML 就去寻找出适合的[w0, w1]来将 X 空间的映射(Mapping)到 Y 空间。
例如，ML 找到了[0, 0]，如下图：
这 Excel 表格里的数据，成为空间里的坐标值。如下图所示：
还有：
其对映关系就是：X * W + B = Y。在这个例子里，B 值为：0。
所以简化为：X * W = Y。例如，目前 X 空间里有 2 个点，就逐一映 射过去 Y 空间。首先，将 X 空间里的一个点，映射过去，如下图：
再来，将另一个点映射过去，如下图：
上述目的是让您熟悉这三个空间(X, Y 和 W)之映射关系。然后，在下 一小节里，将说明 ML 如何逐步找出最适合的[w0, w1]值。也会让您 理解到：这个最适解[w0, w1]是寻找出来的，而不是一般方程式计算出来的。
三、观察 X 和 Y 空间，表现于 W 空间
我们再从这个范例出发：
从这个范例，我们很容易看出来最适合的[w0, w1]值，如下图：
在这条在线的每一个点的坐标值，都是最适合的[w0, w1]值。
例如，其中的[0.5, -0.5]就是一个适合解：
兹拿一笔 X 数据来检验它的对映关系：
确实能将数据空间里的 X=[1,1]，对映到潜藏空间里的 Y=[0]：
再拿另一笔 X 数据来检验它的对映关系：
确实能将数据空间里的 X=[0.5, 0.5]，对映到潜藏空间里的 Y=[0]：
于是 W 空间记忆(录)了 X 与 Y 空间的对映关系。
四、ML 观察 X 和 Y 空间，探索最适解
最适解是 ML 寻找出来的，不是一般数学方程式计算出来的。
ML 有许多种寻找方法。例如，梯度下降法就是常见的方法之一。
寻找是一个过程，总有一个起始点，又称为：初期(Initial)权重值。
于是，人们就把起始点输入给 ML：
并且按下，此时 ML 就展开了，然后输出它 所寻找到的最适解[0.5, -0.5]：
它呈现于 W 空间里：
从不同的起始点出发，可能会寻找到不一样的最适解。例如，设定另 一个起始点(如[1, 1])：
于是，人们就把起始点输入给 ML，并且按下，此时 ML 就展开了，然后输出它所寻找到的最适解[0, 0]：
它呈现于 W 空间里：
再看看另一个不同的起始点，可能又会寻找到不一样的最适解。例如， 设定另一个起始点(如[-0.4, 0.8])：
于是，人们就把起始点输入给 ML，并且按下，此时 ML 就展开了，然后输出它所寻找到的最适解[-0.6, 0.6]：
它呈现于 W 空间里：
ML 的任务就是：探索 X 空间，找出从 X 对映到 Y 空间的相关性，然 后呈现并记忆于 W 空间里。呈现于 X 空间里的最适解，就表现了自 然空间里真实事物的最贴切的关联性(即相关性)。
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总结
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