商务统计分析（第3章 数据描述）

一、描述数值的度量

在统计应用中，对数值变量进行总结和描述的时候，通常从三个维度进行分析

1. 集中趋势：所有数据观测值是否在一个典型或中心值周位的范围内
2. 离散程度：观测值与一个中心值散布或分散的量
3. 分布形状：观测值从最低值到最高值分布的模式

1.1 集中趋势

1.平均数

作用： 平均数是用于反映总体数据的一般水平，或分布的集中趋势。

缺点：
a. 平均数容易受到极端值的影响，如果数据中有极大极小值，此时平均数的代表性很差
b. 当一组数据有明显的偏态分布时，平均数的代表性差

2.中位数

作用： 用来代表一组数据的中等水平，是一组数据中间位置上的代表值，不受极端值和偏态分布的影响

缺点： 因为只利用了部分数据来代表一组数据的集中趋势，可靠性较差，不代表整体。

计算公式： (n+1)/2

3.众数

作用： 集中了数据集中发生频数最高的数据值，不易受极端值影响，在一个数据集中，众数可能不存在或存在多个众数。当一组数据中有不少数据多次重复出现时，众数也往往是我们关心的一种集中趋势。它反映了一种最普遍的倾向

缺点： 没有平均数准确

1.2 离散程度

1.全距/极差

全距= 最大值 - 最小值

作用： 全距简单的度量了数据集的总体离散程度

2.方差、标准差

标准差的作用：

描述数据集的波动大小或者说离散程度。
标准差跟平均值有着相同的量纲（单位），所以便于衡量一个数据集的波动程度，
例如：一个球员，每场平均得分22.3分，标准差为3.1，那么可以说他每场得分聚集在22.3分上下浮动3.1分的范围内

公式：

注意: 总体的方差是除以总体样本个数N的，而样本方差是除以样本个数减1的，即(n-1)

3.变异系数

coefficient of variation ， 用符号CV表示。

作用： 当需要比较两组数据离散程度大小的时候，如果两组数据的测量尺度相差太大，或者数据量纲/单位的不同，直接使用标准差来进行比较不合适，此时就应当消除测量尺度和量纲的影响，而变异系数可以做到这一点，它是原始数据标准差与原始数据平均数的比。

公式： CV = 标准差 / 平均数 * 100%

例子： 物流公司打算买新车，要考虑车的容量：体积和载重。从平常的货物中随机取样200个，发现平均重量26磅，标准差3.9磅，平均体积8.8立方英尺，标准差为2.2立方英尺。计算体积的CV为25%，重量的CV为15%。因而，相对于平均数，包裹体积比包裹重量变动更大。

4.Z值

作用： 识别异常值
Z= X - μ / σ
Z值等于：(观测样本值 - 样本平均值) /样本标准差
Z值如果小于-3或大于3，认为该样本是异常值。

5.分布形状

均值<中位数：负偏，或左偏(左边长尾，左边的极小值拉低了平均数)
均值=中位数：对称分布，零偏度
均值>中位数：正偏，或右偏(右边长尾，右边的极大值拉高了平均数)

1.3 总体数据的数值型描述度量

1.1，1.2章节介绍的描述数据主要是针对样本数据的，要注意的是对总体数据的描述，标准差和方差是除以N

1.经验法则(适用于数据对称)

当一组数据是对称分布的时候，可以用经验法则来检验这些分布的特性：

• 约有68%的数据在平均数±1个标准差的范围内
• 约有95%的数据在平均数±2个标准差的范围内
• 约有99%的数据在平均数±3个标准差的范围内

当出现在平均数三个标准差之外的数据，可以当做outlier。

2.切比雪夫法则(适用于不对称的数据)

例题：一种新的心脏手术正在一家医院推广，对于已完成的20例这种手术，平均住院期为14.3天，标准差为2.84天，因为手术复杂，住院期天数的总体不服从正态分布，而是有些正偏，总体标准差未知，求总体均值的90%近似置信区间。

1.4 描述两个变量之间的关系的度量

用来描述两个变量之间的关系，比如说，年龄跟身高这两个变量间有没关系

1. 协方差(covariance)

作用： 度量两个数值变量X和Y之间的线性关系强度。如果协方差大于0，则两个变量正相关，反之同理，等于0则不相关。

缺点： 协方差只是个值，不能够确定两个变量之间关系的相对强度。因此需要计算相关系数来判定。换句话说，协方差只是为了计算相关系数，的中间产物。

样本协方差计算公式：

2.相关系数(coefficient of correlation)

作用： 衡量两个数值变量间的线性关系的相对强度。

取值范围： 【-1，1】

计算公式：

化简

相关性：
当 |r| >=0.8时，有强相关性
当0.5<|r|<0.8时，有较强相关性
当0.3<|r|<0.5时，有弱相关性
当 |r| <0.3时，无相关性

注意点： 存在较强的相关性并不意味着因果关系！！！仅仅意味着数据有如此倾向。