1.5 Kronecker积

定义

  矩阵的乘法必须要求左边矩阵的列和右边矩阵的行相等。Kronecker积则没有这个限制，简单地说Kronecker积是把左边矩阵的每一项都乘以右边的矩阵，最终结果是一个放大了的矩阵。Kronecker积的定义，其实更像群和群的乘法（不是群元素的成分），也有点像集合的笛卡尔积。定义如下：
  假如A是$m\times n$矩阵，B是$p\times q$矩阵，那么Kronecker积定义为：
A ⊗ B = ( A 11 B ⋯ A 1 n B ⋮ ⋱ ⋮ A m 1 B ⋯ A m n B ) A\otimes B=\begin{pmatrix}A_{11}B & \cdots & A_{1n}B\\ \vdots & \ddots & \vdots \\ A_{m1}B & \cdots & A_{mn}B \end{pmatrix} A⊗B= ​A11​B⋮Am1​B​⋯⋱⋯​A1n​B⋮Amn​B​ ​

举例

A = ( 1 3 2 − 1 − 2 1 ) B = ( 4 − 3 6 − 2 − 4 5 ) A ⊗ B = ( 4 − 3 12 − 9 8 − 6 6 − 2 18 − 6 12 − 4 − 4 5 − 12 15 − 8 10 − 4 3 − 8 6 4 − 3 − 5 2 − 12 4 6 − 2 4 − 5 8 − 10 − 4 5 ) A=\begin{pmatrix} 1 & 3 & 2\\ -1 & -2 & 1\end{pmatrix}\\ B=\begin{pmatrix} 4 & -3\\ 6 & -2 \\ -4 & 5\end{pmatrix}\\ A\otimes B=\begin{pmatrix} 4 & -3 & 12 & -9 & 8 & -6 \\ 6 & -2 & 18 & -6 & 12 & -4\\ -4 & 5 & -12 & 15 & -8 & 10\\ -4 & 3 & -8 & 6 & 4 & -3\\ -5 & 2 & -12 & 4 & 6 & -2\\ 4 & -5 & 8 & -10 & -4 & 5\\ \end{pmatrix} A=(1−1​3−2​21​)B= ​46−4​−3−25​ ​A⊗B= ​46−4−4−54​−3−2532−5​1218−12−8−128​−9−61564−10​812−846−4​−6−410−3−25​ ​

Python程序

  我的python程序是反过来的，也就是内层数组是列向量，所以这个程序会有点难以理解：

    def kronecker(self, other):
        # 因为采用列向量的形式，所以第一个数组长度才是行数
        # m代表行
        m = len(self.__lines[0])
        # n代表列
        n = len(self.__lines)
        p = len(other.__lines[0])
        q = len(other.__lines)
        result = [[0] * m * p for _ in range(0, n * q)]
        # 总之对左边用除法，对右边用取余
        # i 代表矩阵的列
        for i in range(0, n * q):
            # j 代表矩阵的行
            for j in range(0, m * p):
                x = self.__lines[i // q][j // p]
                y = other.__lines[i % m][j % n]
                result[i][j] = x * y
        return Matrix(result)

  测试代码：

# _*_ coding:utf-8 _*_
import unittest

from com.youngthing.mathalgorithm.matrix import Matrix


class MyTestCase(unittest.TestCase):

    def test(self):
        a = Matrix([[1, 3, 2], [-1, -2, 1]])
        b = Matrix([[4, -3], [6, -2], [-4, 5]])
        print("A=", a.to_latex(), "B= ", b.to_latex(), "A \\otimes B = ", a.kronecker(b).to_latex())


if __name__ == '__main__':
    if __name__ == '__main__':
        unittest.main()

  测试结果：
A = ( 1 − 1 3 − 2 2 1 ) B = ( 4 6 − 4 − 3 − 2 5 ) A ⊗ B = ( 4 6 − 4 − 4 − 6 4 − 3 − 2 5 3 2 − 5 12 18 − 12 − 8 − 12 8 − 9 − 6 15 6 4 − 10 8 12 − 8 4 6 − 4 − 6 − 4 10 − 3 − 2 5 ) A= \begin{pmatrix}1 & -1\\ 3 & -2\\ 2 & 1\\ \end{pmatrix}\\ B= \begin{pmatrix}4 & 6 & -4\\ -3 & -2 & 5\\ \end{pmatrix}\\ A \otimes B = \begin{pmatrix}4 & 6 & -4 & -4 & -6 & 4\\ -3 & -2 & 5 & 3 & 2 & -5\\ 12 & 18 & -12 & -8 & -12 & 8\\ -9 & -6 & 15 & 6 & 4 & -10\\ 8 & 12 & -8 & 4 & 6 & -4\\ -6 & -4 & 10 & -3 & -2 & 5\\ \end{pmatrix}\\ A= ​132​−1−21​ ​B=(4−3​6−2​−45​)A⊗B= ​4−312−98−6​6−218−612−4​−45−1215−810​−43−864−3​−62−1246−2​4−58−10−45​ ​
  完整代码在GIT里.