3.3 行列式的几何意义

  行列式是线性代数一个非常重要的内容，也是非常难的领域.行列式在欧几里得空间里还有特殊的几何意义。

二维面积

&esmp; 两个向量围成的平行四边形的面积就是这两个向量组成的矩阵的行列式的绝对值。以两个向量$(3.-2{)}^T$与$(3.-4{)}^T$为例子：

  我们计算下行列式：
∣ 3 3 − 2 − 4 ∣ = 3 × − 4 − ( 3 × − 2 ) = − 12 + 6 = − 6 \begin{vmatrix} 3 &3\\-2&-4\end{vmatrix}=3\times -4-(3\times -2)=-12+6=-6 ​3−2​3−4​ ​=3×−4−(3×−2)=−12+6=−6
  绝对值是6，那么面积就是6了。为什么要绝对值呢？是这样的，因为这两个向量可以换顺序啊，我们知道，交换两列，行列式的正负性就发生了变化，如上述两个向量：
∣ 3 3 − 4 − 2 ∣ = 3 × − 2 − ( 3 × − 4 ) = − 6 + 12 = 6 \begin{vmatrix} 3 &3\\-4&-2\end{vmatrix}=3\times -2-(3\times -4)=-6+12=6 ​3−4​3−2​ ​=3×−2−(3×−4)=−6+12=6
  加上了绝对值，就是无论向量以什么顺序放，结果都是一样的，都等于面积。

三维体积

  三维欧几里得空间里三个向量组成的平行六面体parallelepiped的体积就是三个向量组成的矩阵的行列式的绝对值。比如以下三个向量围成的平行六面体：
a = ( 1 − 1 1 ) , b = ( 0 3 1 ) , c = ( 2 0 2 ) a=\begin{pmatrix}1 \\ -1\\ 1\end{pmatrix}, b=\begin{pmatrix}0 \\ 3\\ 1\end{pmatrix}, c=\begin{pmatrix}2 \\ 0\\ 2\end{pmatrix} a= ​1−11​ ​,b= ​031​ ​,c= ​202​ ​
  在三维坐标系里是这个样子：

  先计算行列式：
∣ 1 0 2 − 1 3 0 1 1 2 ∣ = 2 \begin{vmatrix}1 & 0 & 2\\ -1 & 3 & 0\\ 1 & 1 & 2\end{vmatrix}=2 ​1−11​031​202​ ​=2
  所以这个平行六面体的体积就是2了。

多维体积

  至于四维，我们没法画出来，但是有了行列式，就可以计算体积了。比如以下四个向量组成围成的体积：
( 1 2 0 1 ) , ( 2 2 2 2 ) , ( − 1 3 0 5 ) , ( 0 1 0 7 ) \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} -1 \\ 3 \\ 0 \\ 5 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 0\\ 1\\ 0\\ 7 \end{pmatrix} ​1201​ ​, ​2222​ ​, ​−1305​ ​, ​0107​ ​
  直接计算就完事了：
∣ 1 2 − 1 0 2 2 3 1 0 2 0 0 1 2 5 7 ∣ = − 58 \begin{vmatrix} 1 & 2 & -1 & 0\\ 2 & 2 & 3 & 1\\ 0 & 2 & 0 & 0\\ 1 & 2 & 5 & 7 \end{vmatrix}=-58 ​1201​2222​−1305​0107​ ​=−58
  所以面积是58.