黎曼 zeta 函数与黎曼猜想

$\zeta (s)$, is a function of a complex variable $s$ that analytically continues the sum of the infinite series：
$$\zeta (s)=\sum _{n=1}^{\infty }\frac{1}{n^s}$$

1. 基本性质

• $s$ 的实部如果大于 1，则级数收敛；

• $\zeta (1)=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots =\infty$，调和级数发散；

  证明方式非常经典，

  $$\begin{array}{rl}\zeta (1)=& 1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+\frac{1}{6}+\frac{1}{7}+\frac{1}{8}+\cdots \\ =& 1+\frac{1}{2}+\left(\frac{1}{3}+\frac{1}{4}\right)+\left(\frac{1}{5}+\frac{1}{6}+\frac{1}{7}+\frac{1}{8}\right)+\left(\frac{1}{9}+\cdots +\frac{1}{16}\right)+\left(\frac{1}{17}+\cdots +\frac{1}{32}\right)+\cdots \\ >& 1+\frac{1}{2}+\left(\frac{1}{4}+\frac{1}{4}\right)+\left(\frac{1}{8}+\frac{1}{8}+\frac{1}{8}+\frac{1}{8}\right)+\left(\frac{1}{16}+\cdots +\frac{1}{16}\right)+\left(\frac{1}{32}+\cdots +\frac{1}{32}\right)+\cdots \\ =& 1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+\cdots \end{array}$$

• $\zeta (2)=1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\cdots =\frac{{\pi }^2}{6}$，这也是 $\pi$ 近似计算的重要公式；

• 对于 $\zeta (-1)=1+2+3+\cdots$（全体自然数的和），欧拉证明其值为 $-\frac{1}{12}$，这样一神奇的结论怎么计算出来的呢？

  已知 $\frac{x}{(1-x{)}^2}$ 的泰勒展开：

  $$\begin{array}{rl}\frac{x}{(1-x{)}^2}=& {\sum }_{n=1}n{x}^n\\ =& x+2x^2+3x^3+\cdots \end{array}$$

  考虑当 $x=-1$ 时，上述等式可转化为：

  $$\begin{array}{rlr}-\frac{1}{4}=& -1+2-3+4-5+6+\cdots & \\ =& -(1+3+5+\cdots )& +(2+4+6+\cdots )\\ =& \left(-(1+2+3+\cdots )+(2+4+6+\cdots )\right)& +(2+4+6+\cdots )\\ =& -(1+2+3+\cdots )& +2(2+4+6+\cdots )\\ =& -(1+2+3+\cdots )& +4(1+2+3+\cdots )\\ =& 3{\sum }_{n=1}n& \end{array}$$

  因此，$\zeta (-1)$ 也即全体自然数的和 ${\sum }_{n=1}n=-\frac{1}{12}$

2. 黎曼猜想

素数分布的奥秘完全蕴藏在一个特殊的函数 —— 黎曼 zeta 函数，在该函数取值为 0 的一系列特殊的点（非平凡零点）对素数分布的细致规律有着决定性的影响。