泛函分析复习笔记（二）线性算子与线性泛函

Chapter 2 线性算子与线性泛函

线性算子：线性空间之间的线性映射：$\mathcal{X},\mathcal{Y},D\subset \mathcal{X}$为线性子空间，$T:D\to \mathcal{Y},D$称为T的定义域，记做$D(T)$，$R(T)$称为值域。若T线性：$T(\alpha x+\beta y)=\alpha Tx+\beta Ty$，则称为线性算子

线性泛函：取值于实数/复数的线性算子，记为**$f(x)$或$<f,x>$**（注意内积是圆括号）

连续：假设空间$\mathcal{X},\mathcal{Y}$带有度量（$F^{\ast }$），则线性算子称作连续，若$\{x_n\}\subset D(T)\to x_0\Rightarrow T{x}_n\to T{x}_0$

有界：存在M，$||Tx|{|}_{\mathcal{Y}}\le M||x|{|}_{\mathcal{X}},\forall x\in D(T)$

定理：连续$\iff$有界

有界线性算子集：$\mathcal{L}(\mathcal{X},\mathcal{Y})$，定义范数为$||T||={\sup }_{x\in \mathcal{X}/\theta }||Tx||/||x||={\sup }_{||x||=1}||Tx||$，自然地可以在其上定义线性运算，且如果$\mathcal{X}{B}^{\ast },\mathcal{Y}B$，则$(\mathcal{L},||\cdot ||)B$

Riesz表示定理：Hilbert空间上的连续线性泛函$f$唯一对应于一个$y_f\in \mathcal{X}$, s.t. $f(x)=(x,y_f)$（相当于对$f$的零空间做垂直投影内积）

推论：如果为f也引入线性结构，则可以得到对共轭双线性函数用变换内积的表示定理：$a(x,y)=(x,Ay)$，根据Lax-Milgram定理，如果$|a(x,y)|\le M||x||||y||,|a(x,x)|\ge \delta ||x|{|}^2$，则还可以利用Banach定理证明A为有连续逆的连续线性算子，并且$||A^{-1}||\le 1/\delta$

Radon-Nikodym定理：设 $(\Omega ,\mathcal{B},\mu ),(\Omega ,\mathcal{B},\nu )$ 是两个 $\sigma$-有限测度，且 $\nu$ 关于 $\mu$ 绝对连续, 即$E\in \mathcal{B},\mu (E)=0\Rightarrow \nu (E)=0,$

则存在关于 $\mu$ 的可测函数 $g$, 且 $g(x)⩾0$ a.e. $\mu$, 使得$\nu (E)={\int }_{E}g(x)\mathrm{d}\mu ,\forall E\in \mathcal{B}$

线性算子求逆：

疏集：$E\subset (\mathcal{X},\rho )$称为疏集，若${\bar{E}}^o=\varnothing$$\iff$ 对任意球，存在子闭球和$\bar{E}$的交为空

第一纲集：疏集的可列并 第二纲集：非第一纲集

Baire定理：完备度量空间必为第二纲集（思路：每个球都必然有子球与疏集无交=>构造球列）

T的性质与逆的关系：

若$T$为单射，则逆运算在$R(T)$上存在；若$T$为满射，则逆运算$T^{-1}\in \mathcal{L}(\mathcal{Y},\mathcal{X})$

Banach定理：$T\in \mathcal{L}(\mathcal{X},\mathcal{Y})$为双射且$\mathcal{X},\mathcal{Y}B$$\Rightarrow T^{-1}\in \mathcal{L}(\mathcal{Y},\mathcal{X})$

开映射定理：只要$T$是满射，$T$就是开映射（任意开集的像为开集）

思路：$\mathcal{Y}={\cup }_{i=1}^{\infty }TU(\theta ,i)$，则由于完备=>第二纲=>存在i，使得$TU(\theta ,i)$非疏，不妨设i=1=>闭包有内点，由对称性$\theta$也为内点=>对$y\in U(\theta ,\delta )$做逐次逼近，使得证明$y$的任何原像$x\in U(\theta ,1)$，则$U(\theta ,\delta )\subset TU(\theta ,1)$，从而命题得证

特别的，若T为单射，有$T^{-1}\le 1/\delta$

在证明过程中有两处可以放宽要求：一个是只要像集为第二纲集，另一个逐次逼近的收敛只需要$D(T)$为闭算子而无需$T$有界（连续）

闭算子：线性算子$T$：$\{x_n\}\subset D(T),x_n\to x,T{x}_n\to y\Rightarrow x\in D(T),y=Tx$（定义域不一定要是闭的）

广义开映射定理：只要$T$是闭线性算子，$R(T)$是第二纲集，就有$T$为满射和开映射

连续性和闭性的关联：

事实上，如果闭算子的定义域是闭的，则其为连续算子

推论：任何一个映射到$\mathcal{Y}$的连续线性算子都可以将$R(T)$延拓到$\overline{R(T)}$上

等价范数定理：如果线性空间$\mathcal{X}$关于两个范数都Banach，且一个比另一个强，则其必定等价

共鸣定理（一致有界定理）：如果$\mathcal{X}B,\mathcal{Y}{B}^{\ast }$，$\mathcal{L}(\mathcal{X},\mathcal{Y})$的子集$W$满足$\forall x\in \mathcal{X},{\sup }_{A\in W}||Ax||\le \infty$，则存在常数M，$||A||\le M,\forall A$（点点有界蕴含一致有界）

Banach-Steinhaus定理：如果$\mathcal{X}B,\mathcal{Y}{B}^{\ast }$, $M$ 是 $\mathcal{X}$ 的某个稠密子集. 若 $A_n(n=1,2,\cdots ),A\in$ $\mathcal{L}(\mathcal{X},\mathcal{Y})$, 则 $\forall x\in \mathcal{X}$ 都有${\lim }_{n\to \infty }{A}_{n}x=Ax$当且仅当：(1) $\Vert A_n\Vert$ 有界 (2)原式对 $\forall x\in M$ 成立

线性泛函的延拓与凸集分离

实 Hahn-Banach 定理：设 $\mathcal{X}$ 是实线性空间， $p$ 是定义在 $\mathcal{X}$ 上的次线性泛函, ${\mathcal{X}}_0$ 是 $\mathcal{X}$ 的实线性子空间, $f_0$ 是 ${\mathcal{X}}_0$ 上的实线性泛函并满足 $f_0(x)⩽p(x)\left(\forall x\in {\mathcal{X}}_0\right)$. 那么 $\mathcal{X}$ 上必 有一个实线性泛函 $f$，满足: (1) $f(x) \leqslant p(x) (\forall x \in \mathscr{X}) $ (受 $p$ 控制条件) (2) $f(x)=f_0(x)\left(\forall x\in {\mathcal{X}}_0\right)$ (延拓条件)

构造方法：随意取$y_i\in \mathcal{X}/{\mathcal{X}}_{i-1}$，将函数延拓到$\lambda y_i$上，再用控制条件推导出$f_i(y_i)$的上下界，并且计算之，取在其中即可

复Hahn-Banach定理：对所有出现在不等式中的$f_0(x)$修改为$|f_0(x)|$。构造：先按照实的方法构造$g_0(x)=Re{f}_0(x)$，再令$f(x)=g(x)-ig(ix)$

Hahn-Banach定理：设 $\mathcal{X}$ 是 $B^{\ast }$ 空间, ${\mathcal{X}}_0$ 是 $\mathcal{X}$ 的线性子空间, $f_0$ 是定义在 ${\mathcal{X}}_0$ 上的有界线性泛函, 则在$\mathcal{X}$上必有有界线性泛函 $f$ 满足: (1) $f(x)=f_0(x)\text{ on }{\mathcal{X}}_0$ (延拓条件) (2) $\Vert f\Vert ={\Vert f_0\Vert }_0$ (保范条件)：其中 ${\Vert f_0\Vert }_0$ 表示 $f_0$ 在 ${\mathcal{X}}_0$ 上的范数（线性泛函的界限相当于构造了一个将其夹在内部的投影）

推论：$B^{\ast }$空间中，$\forall x_0\ne \theta ,\exists f\in {\mathcal{X}}^{\ast },f(x_0)=||x_0||,||f||=1$，即一个元素为其零元当且仅当对任意线性泛函像为0

推论：$B^{\ast }$空间中，M为线性子空间，且任意$x_0$，$d=\rho (x_0,M)$，必定存在$f$，使得(1) $f(x)=0(\forall x\in M)$ (2) $f\left(x_0\right)=d$ (3) $\Vert f\Vert =1$

凸集分离：

超平面：极大线性子空间（距离X只差1维）的流形； 任意非零（连续）线性泛函的等值面必定为一个（闭）超平面（连续：$f(x_n)=r,x_n\to x$，则$f(x)=r$）

Hahn-Banach定理的几何形式：如果E是以实$B^{\ast }$空间$\theta$为内点的真凸子集，且$x_0\notin E$，则必定存在一个超平面分离$x_0$和E

（事实上，该超平面由E定义的Minkowvski泛函p对应的控制线性泛函f给出：集合内$f\le p\le 1$，集合外$p\ge 1$）

凸集分离定理：设 $E_1$ 和 $E_2$ 是 $B^{\ast }$ 空间中两个互不相交的非空凸集, $E_1$ 有内点, 那么 $\exists s\in \mathbb{R}$ 及非零连续线性泛函 $f$, 使得超平面 $H_f^s$ 分离 $E_1$ 和 $E_2$

注：由于f连续，事实上结论可以加强到只需$E_1^o\cap E_2=\varnothing$

推论：Ascoli定理：闭凸集分离：$f(x)<\alpha <f(x_0)$（由于闭性，内点由$x_0$取得，无需含内点）

​ 在有内点的闭凸集中，每个边界点都可以做一个承托超平面

共轭空间：$B^{\ast }$空间$\mathcal{X}$上的全体连续线性泛函按照泛函范数构成的B空间$(\mathcal{X},||\cdot ||)$称为$\mathcal{X}$的共轭空间

定理：$L^p(\Omega ,\mathcal{B},\mu {)}^{\ast }=L^q(\Omega ,\mathcal{B},\mu )(1⩽p<\infty )$

第二共轭空间：${\mathcal{X}}^{\ast \ast }$: $\forall x\in \mathcal{X},$ 定义$X(f)=⟨f,x⟩$为${\mathcal{X}}^{\ast }$上的线性泛函，$||X||\le ||x||$，称$T:x\mapsto X$为自然映射，构造了$\mathcal{X}$到${\mathcal{X}}^{\ast \ast }$的一个连续嵌入和线性同构，且根据Hahn-Banach，$T$是等距的

自反：若自然映射T为满射，即$\mathcal{X}={\mathcal{X}}^{\ast \ast }$，则称为自反空间

共轭算子：（利用对偶关系对矩阵转置的推广）设 $\mathcal{X},\mathcal{Y}$ 是 $B^{\ast }$ 空间, 算子 $T\in$ $\mathcal{L}(\mathcal{X},\mathcal{Y})$. 算子 $T^{\ast }:{\mathcal{Y}}^{\ast }\to {\mathcal{X}}^{\ast }$ 称为是 $T$ 的共轭算子，若：$⟨f,Tx⟩=⟨T^{\ast }f,x⟩$，容易证明其存在且唯一

定理：共轭映射$\ast :T\mapsto T^{\ast }$是线性的，且为$\mathcal{L}(\mathcal{X},\mathcal{Y})$到$\mathcal{L}({\mathcal{Y}}^{\ast },{\mathcal{X}}^{\ast })$的等距同构

弱收敛：设$\mathcal{X}$$B^{\ast }$， $\left\{x_n\right\}\subset \mathcal{X},x\in \mathcal{X}$, 称 $\left\{x_n\right\}$ 弱收敛到 $x$, 记作 $x_n\rightharpoonup x$,若：对于 $\forall f\in {\mathcal{X}}^{\ast }$ ，${\lim }_{n\to \infty }f\left(x_n\right)=f(x)$，这时 $x$ 称作点列 $\left\{x_n\right\}$ 的弱极限

注：在空间的维数小于$\infty$时，弱收敛与强收敛等价；弱收敛极限唯一；强收敛若存在则为弱收敛，反之不然

Mazur定理：如果$\{x_n\}\rightharpoonup x_0$，则存在$\{y_n\in co\{x_1,...,x_n\}\}$（凸组合），使得$y_n\to x$

显然，${\mathcal{X}}^{\ast }$上同样可以定义弱收敛，但是会涉及${\mathcal{X}}^{\ast \ast }$，为了避免，定义弱*收敛：$\{f_n\}\to f$，若$\forall x\in \mathcal{X},\lim f_n(x)=f(x)$，并且在自反空间上弱收敛和弱*收敛相同

定理： $x_n\to x(n\to \infty )$ 当且仅当： (1) $\Vert x_n\Vert$ 有界 (2) 对 ${\mathcal{X}}^{\ast }$ 中的一个稠密子集 $M^{\ast }$ 上的一切 $f$ 都有${\lim }_{n\to \infty }f\left(x_n\right)=f(x)$

（将$x_n$看成${\mathcal{X}}^{\ast }$上的有界线性泛函$(x_n,f)=f(x_n)$即可，用Steinhaus定理）；$f_n$类似有该定理

连续线性算子的各种收敛性：

设$\mathcal{X},\mathcal{Y}$ 是 $B^{\ast }$ 空间. 又设 $T_n(n=1,2,\cdots )$, $T\in \mathcal{L}(\mathcal{X},\mathcal{Y})$
(1)一致收敛：$T_n\rightrightarrows T$：若$\Vert T_n-T\Vert \to 0$
(2)强收敛：$T_n\to T$：若 $\Vert \left(T_n-T\right)x\Vert \to 0(\forall x\in \mathcal{X})$,
(3)弱收敛：$T_n\rightharpoonup T$：若对于 $\forall x\in \mathcal{X}$, 以及 $\forall f\in {\mathcal{Y}}^{\ast }$ 都有${\lim }_{n\to \infty }f\left(T_{n}x\right)=f(Tx)$

eg：空间$l^2$上的左移算子$T^n\to 0$，右移算子$S^n\rightharpoonup 0$

Banach定理：${\mathcal{X}}^{\ast }$若可分，则$\mathcal{X}$可分

Pettis定理：自反空间的闭子空间必定自反

Eberlein-Smulian定理：自反空间的单位（闭）球弱（自）列紧

弱收敛但不强收敛的三种行为：振荡，平移，集中

线性算子的谱：（线性映射的特征值推广）

特征值：在复$B$空间$\mathcal{X}$上考察闭线性算子$A:D(A)\to \mathcal{X}$，称$\lambda$为特征值，若$\exists x_0\in D(A)/\theta ,A{x}_0=\lambda x_0$，$x_0$称为对应特征元

预解集：$\rho (A)\triangleq \left\{\lambda \in \mathbb{C}\mid (\lambda I-A{)}^{-1}\in \mathcal{L}(\mathcal{X})\right\}$，其中的$\lambda$称为正则值（regular，与singular相对）

当空间维数有限时，根据线性代数，$\forall \lambda \in C$只有两种情况：要么是特征值，要么是正则值

但是空间维数无限时，则有很多种情形：正则值为情形2，对应$\rho$，非正则分三种情形(1)(3)(4)，对应${\sigma }_p,{\sigma }_c,{\sigma }_r$

(1) $(\lambda I-A{)}^{-1}$ 不存在. 这相当于 $\lambda$ 是特征值: ${\sigma }_p(A)$
(2) $(\lambda I-A{)}^{-1}$ 存在, 且值域 $R(\lambda I-A)\triangleq (\lambda I-A)D(A)=\mathcal{X}$，这相当于 $\lambda$ 是正则值（Banach逆算子定理）：$\rho (A)$
(3) $(\lambda I-A{)}^{-1}$ 存在, $R(\lambda I-A)\ne \mathcal{X}$, 但 $\overline{R(\lambda I-A)}=\mathcal{X}$. 对 于这部分 $\lambda$, 我们称其为 $A$ 的连续谱.
(4) $(\lambda I-A{)}^{-1}$ 存在, 且 $\overline{R(\lambda I-A)}\ne \mathcal{X}$, 这部分 $\lambda$ 称为 $A$ 的 剩余谱.
记 $\sigma (A)\triangleq \mathbb{C}\backslash \rho (A)$, 并称 $\sigma (A)$ 为 $A$ 的谱集，$\sigma (A)$ 中的点称 为 $A$ 的谱点. 对应于情形 (1) 中的那部分 $\lambda$ 的集合, 记作 ${\sigma }_p(A)$, 称为 $A$ 的点谱. $A$ 的连续谱记作 ${\sigma }_c(A),A$ 的剩余谱记作 ${\sigma }_r(A)$，显然$\sigma (A)={\sigma }_p(A)\cup {\sigma }_c(A)\cup {\sigma }_r(A)$

预解式：算子值函数 $R_{\lambda }(A):\rho (A)\to \mathcal{L}(\mathcal{X})$ 定义为$\lambda \mapsto (\lambda I-A{)}^{-1}(\forall \lambda \in \rho (A)),$称为$A$ 的预解式（其实按照函数的标准写法应该写成$R_A(\lambda )$）

引理：设 $T\in \mathcal{L}(\mathcal{X}),\Vert T\Vert <1$, 则 $(I-T{)}^{-1}\in \mathcal{L}(\mathcal{X})$, 并且$\Vert (I-T{)}^{-1}\Vert ⩽\frac{1}{1-\Vert T\Vert }$

推论：对于闭线性算子$A，$$\rho (A)$为开集

第一预解公式：$\lambda ,\mu \in \rho (A)\Rightarrow R_{\lambda }(A)-R_{\mu }(A)=(\mu -\lambda )R_{\lambda }(A)R_{\mu }(A)$

定理：预解式在$\rho (A)$内是算子值解析函数

从而：根据Louville定理，有界线性算子的谱集非空（否则可以推出$||R_{\lambda }(A)||$有界）

谱半径：有界线性算子A的谱半径为：$r_{\sigma }(A)\triangleq \sup \{|\lambda |\mid \lambda \in \sigma (A)\}$

显然，$r_{\sigma }(A)\le ||A||$，因为当$\lambda >||A||$时，$(\lambda I-A)=\lambda (I-A/\lambda )$必然有逆；并且根据Cauchy-Hadamard收敛半径公式，有Gelfand定理：$r_{\sigma }(A)=\underset{n\to \infty }{\mathrm{limsup}}\Vert A^n\Vert \frac{1}{n}$

计算三种谱的常用技巧：

0. 特征值$\iff$ 求解$(\lambda I-A)x=0$何时必定有解$\iff \lambda \in {\sigma }_p(A)$

1. 非特征值$\Leftrightarrow $单射$\Leftrightarrow N(\lambda I-A)={\theta}$

2. 满射$\iff R(\lambda I-A)=\mathcal{X}\iff (\lambda I-A{)}^{-1}$存在$\iff$ $\lambda \in \rho (A)$

3. 连续谱$\iff {\overline{R(\lambda I-A)}}^{\perp }=\{\theta \}\iff N(\bar{\lambda }I-A^{\ast })=\{\theta \}$$\iff \lambda \in {\sigma }_c(A)$

   即：$\lambda \in {\sigma }_c(A)\Rightarrow \lambda \notin \overline{{\sigma }_p(A^{\ast })}$

   或者直接证明$R(\lambda I-A)$在$\mathcal{X}$中稠密（构造）

4. 剩下的部分：剩余谱

常见算子：

（正交投影算子）Hilbert空间$\mathcal{X}$上有闭线性子空间M上的正交分解$x=y+z$，则$P_M:x\mapsto y$记为M对应的正交投影

性质：(1)$||P_M||=1$ (2)$L\perp M\Leftrightarrow P_LP_M=0 $ (3)$L=M^{\perp }\iff P_L+P_M=I$ (4) $P_L{P}_M=P_M{P}_L\iff P_L{P}_M=P_{L\cap M}$

（左推移算子）$l^2$上$A:(x_1,x_2,...,x_n,...)\rightharpoonup (x_2,...,x_n,...)$

性质：(1)$||A||=1$ (2)$A^n\to 0$ (3)和右推移算子共轭 (4) ${\sigma }_p(A)=\{\lambda \in \mathbb{C}||\lambda <1\},{\sigma }_c(A)=\{\lambda \in \mathbb{C}||\lambda \mid =1\},{\sigma }_r(A)=\varnothing$

（右推移算子）$l^2$上$A:(x_1,x_2,...,x_n,...)\rightharpoonup (0,x_1,x_2,...,x_n,...)$

性质：(1)$||A||=1$ (2)$A^n\rightharpoonup 0$ (3)和左推移算子共轭 (4) ${\sigma }_p(A)=\varnothing ,{\sigma }_r(A)=\{\lambda \in \mathbb{C}||\lambda \mid <1\}$

（对称算子）Hilbert空间$\mathcal{X}$, $A\in \mathcal{L}(\mathcal{X})$ 称为对称算子, 若 $A^{\ast }=A$，即$(Ax,y)=(x,Ay)(\forall x,y\in \mathcal{X})$，则：

性质： $\sigma (A)\subset \mathbb{R}$, 且 ${\sigma }_r(A)=\varnothing$

对称算子在第三章有丰富的理论：由于$A^{\ast }=A$，故又称为自伴算子

定理：**H上的算子A对称$\iff (Ax,x)\in \mathbb{R},\forall x\in H$ **； 若 $A$ 对称, 则 $\sigma (A)\subset \mathbb{R}$, 并且有$\begin{array}{rl}& \Vert (\lambda I-A{)}^{-1}x\Vert ⩽\frac{1}{|\mathrm{Im}\lambda |}\Vert x\Vert \\ & (\forall x\in H,\forall \lambda \in \mathbb{C},\mathrm{Im}\lambda \ne 0).\end{array}$

对称算子限制在闭不变子空间上仍然对称；对称算子的各个特征向量空间正交：$\begin{array}{rl}& \lambda ,{\lambda }^{\prime }\in {\sigma }_p(A),\lambda \ne {\lambda }^{\prime },\text{ 则 }\\ & N(\lambda I-A)\perp N\left({\lambda }^{\prime }I-A\right)\end{array}$

关于对称紧算子可以做分解：若 $A$ 是 Hilbert 空间 $H$ 上 的对称紧算子, 则至多有可数个非零的, 只可能以 0 为聚点的实数 $\left\{{\lambda }_i\right\}$, 它们是算子 $A$ 的特征值, 并对应一组正交规范基 $\left\{e_i\right\}$, 使得$\begin{array}{rl}x& =\sum \left(x,e_i\right)e_i\\ Ax& =\sum {\lambda }_i\left(x,e_i\right)e_i.\end{array}$

（极小极大刻画)：设 $A$ 是对称紧算子, 对应有特征值${\lambda }_1^{+}\ge {\lambda }_2^{+}\ge ...\ge 0,{\lambda }_1^{-}\le {\lambda }_2^{-}\le ...\le 0$, 则
${\lambda }_n^{+}={\inf }_{E_{n-1}}{\sup }_{x\in E_{n-1}^{\perp }x\ne \theta }\frac{(Ax,x)}{(x,x)},{\lambda }_n^{-}={\sup }_{E_{n-1}}{\inf }_{x\in E_{n-1}^{\perp }x\ne \theta }\frac{(Ax,x)}{(x,x)}$
其中 $E_{n-1}$ 是 $H$ 的任意 $n-1$ 维闭线性子空间

常见泛函：

（Dirichlet泛函与弱解的存在唯一性）要求解Dirichlet方程：$u{|}_{\partial \Omega }=0,\Delta u=f$，首先定义$H_0^1(\Omega )$上的弱解$u:\forall v,{\int }_{\Omega }\nabla u\nabla vdx={\int }_{\Omega }fvdx$

为了证明弱解存在唯一，由Poincare不等式，空间上有内积$(u,v{)}_1={\int }_{\Omega }\nabla u\nabla vdx$，且$T:v\mapsto \int fvdx$为一个连续线性泛函，因此由Riesz定理，$\exists !u_0,{\int }_{\Omega }\nabla u_0\nabla vdx=(u_0,v{)}_1=T(v)=\int fvdx$，即可证明弱解$u_0$的存在唯一性