python 黎曼猜想_黎曼猜想简析

- If Q is prime, you’ve found a prime that was not in your “list of all the primes”.

- If Q is not prime, it is composite, i.e made up of prime numbers, one of which, p, would divide Q (since all composite numbers are products of prime numbers). Every prime p that makes up P obviously divides P. If p divides both P and Q, then it would have to also divide the difference between the two, which is 1. No prime number divides 1, and so the number p cannot be on your list, another contradiction that your list contains all prime numbers.

求在给定正整数范围内有多少素数，是一个很有用的函数，记为π(x), 容易理解这个函数是个阶梯函数，每当x为素数时阶跃1，来看一眼这个函数的图像，大概也能感觉到素数分布之规律难寻：

素数定理：

用python画了一下分母的这个函数x/ln(x)的趋势，如下图：

把黎曼zeta函数跟素数发生关系的一个公式：欧拉乘积公式(Euler product formula)

右边的p是所有的素数。

这个结论乍看起来一头雾水，这样一个无穷级数怎么能跟素数的某种形式的练乘挂上钩呢？下面就做一个简单的证明：

首先对zeta函数(级数形式)两边都乘以第二项

然后跟原始的等式按如下方式做差：

其结果就是右边的项中分母中底数为2的倍数的项都没了。

再来做类似的操作，等式两边乘以右边第二项：

然后再跟之前的等式两边同时做差。得到下式：

说白了这里不过是一些处理无穷级数项的小技巧而已，没什么复杂的，但是通过不断地做以上的操作，类推下去，最终会把右边的项，全部干掉，只剩下1：

然后左边的项，看剩下的分母中的底数，为2，3，5，7 。。。等，全是素数。为什么会全是素数呢？其实如果知道埃拉托斯特尼筛法，自然就能理解了，原理大概就是例如求100以内的所有素数，只要把2的倍数全部剔除，再把3的倍数全部剔除，顺序往下，把没剔除的数的倍数全部剔除，直到没得剔了，那么剩下的数就是素数，很直观的一种方法。

至此，证毕，起码到此为止的成就是，把素数跟Zeta函数挂上钩了。但是zeta函数的那些非平凡零点又意味着什么，暂时还不知道。

又仔细研究了下，得到的结论大概是这样：zeta函数在复平面上的非平凡零点跟素数分布有着紧密联系，具体怎么联系的，体现在类似素数定理的误差项，已经证明的是非平凡零点的实部在0到1的条状带内，而黎曼猜想的标书则更强，直接定位在实部等于1/2处，这样相当于获得了更强的素数计数函数的误差项：

那么如果证明出来里面函数会有什么影响？答案我的理解是这样，考虑到黎曼猜想在结论层面，已经很多人默认它为真并基于它去做一些具体的事了，那么如果最终被证明，对这些已经默认它为真的事情理应是没啥影响，考虑到现在已经找到的大量的零点都符合黎曼猜想，这个猜想的成立的概率还是挺大的，于是在现实应用层面，证明了更不应该会有什么影响，倒是如果被证伪了，影响会比较大，但在现实应用层面(例如密码学)影响也有限，不会是颠覆性的。

但是可能的大的影响是来自证明过程的，例如素数定理本身就是研究黎曼猜想的过程中引出来的，那么如果真正证明出黎曼猜想，大概率其过程中会有新的一些重要发现。

牵涉到的一些数学概念：

素数定理， 解析延拓，虚数指数函数的意义，连续统