黎曼zeta函数不需解析延拓

欧拉乘积公式

$$\sum _{n=1}^{\infty }\frac{1}{n^s}=\prod _p\frac{1}{1-p^{-s}}$$

这是欧拉的证明，由于黎曼把 $s$ 推广到了复数域，欧拉乘积公式成了黎曼 $\zeta (s)$ 函数，这一荣誉被后人让给了他。我们来看看证明过程，设$s$是复数
$$O(s)=\zeta (s)=\sum _{n=1}^{\infty }\frac{1}{n^s}=1+\frac{1}{2^s}+\frac{1}{3^s}+\frac{1}{4^s}+\frac{1}{5^s}+\frac{1}{6^s}+\cdots (1)$$

等式两边同时乘以第二项：
$$\frac{1}{2^s}O(s)=\frac{1}{2^s}+\frac{1}{4^s}+\frac{1}{6^s}+\frac{1}{8^s}+\frac{1}{10^s}+\frac{1}{12^s}+\cdots (2)$$

用(1)式减(2)式：
$$(1-\frac{1}{2^s})O(s)=1+\frac{1}{3^s}+\frac{1}{5^s}+\frac{1}{7^s}+\frac{1}{9^s}+\frac{1}{11^s}+\frac{1}{13^s}+\cdots (3)$$

在(3)式两边同时乘以第三项：
$$\frac{1}{3^s}(1-\frac{1}{2^s})O(s)=\frac{1}{3^s}+\frac{1}{9^s}+\frac{1}{15^s}+\frac{1}{21^s}+\frac{1}{27^s}+\frac{1}{33^s}+\cdots (4)$$

用(3)式减(4)式：
$$(1-\frac{1}{3^s})(1-\frac{1}{2^s})O(s)=1+\frac{1}{5^s}+\frac{1}{7^s}+\frac{1}{11^s}+\frac{1}{13^s}+\frac{1}{17^s}+\frac{1}{19^s}+\cdots (5)$$

重复这一过程，就能得到：
$$\cdots (1-\frac{1}{11^s})(1-\frac{1}{7^s})(1-\frac{1}{5^s})(1-\frac{1}{3^s})(1-\frac{1}{2^s})O(s)=1$$

这就是
$$O(s)=\sum _{n=1}^{\infty }\frac{1}{n^s}=\prod _p\frac{1}{1-p^{-s}}=\zeta (s)$$

从证明过程可以看出：

(1), $s$是复数也成立;
(2), 根本不需解析延拓;
(3), $\zeta (s)\ne 0,\zeta (s)=0$ 在复数域无解！

这么精妙的证明（从来就不会是长篇大论）只有前无古人后无来者的绝世天才欧拉才想得到，这一荣誉应该还给欧拉！

我们不应该说: 黎曼 $\zeta$ 函数解密了所有素数的集合的结构；
而是应该说: 欧拉定理（乘积公式）解密了所有素数的集合的结构.

黎曼漫不经心的一个不必要的假设蒙骗了误导了我们$160$年？!