黎曼ζ函数(中文维基百科)

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黎曼$\zeta$函数$\zeta (s)$的定义如下： 设一复数 $s$，其实数部分 $>1$,而且：

$$\zeta (s)=\sum _{n=1}^{\infty }\frac{1}{n^s}$$

它亦可以用积分定义：

$$\zeta (s)=\frac{1}{\Gamma (s)}{\int }_0^{\infty }\frac{x^{s-1}}{e^x-1}\mathrm{d}x$$

在区域 $s:Re(s)>1$上，此无穷级数收敛并为一全纯函数（其中$Re$表示复数的实部，下同）。欧拉在1740年考虑过$s$为正整数的情况，后来切比雪夫拓展到$s>1$。[2]波恩哈德·黎曼认识到：$\zeta$ 函数可以通过解析开拓来扩展到一个定义在复数域$(s,s\ne 1)$上的全纯函数$\zeta (s)$。这也是黎曼猜想所研究的函数。

虽然黎曼的 $\zeta$ 函数被数学家认为主要和“最纯”的数学领域数论相关，它也出现在应用统计学（参看齐夫定律（Zipf’s Law）和齐夫-曼德尔布罗特定律（Zipf-Mandelbrot Law））、物理，以及调音的数学理论中。

目录

1 历史
1.1 奥里斯姆
1.2 欧拉
1.3 黎曼
1.4 阿达马与普森
1.5 希尔伯特
1.6 玻尔与兰道
1.7 哈代与李特尔伍德
1.8 塞尔伯格
2 解析延拓
3 和数论函数的关系
4 佩龙公式
5 和素数的关系
5.1 欧拉乘积
5.2 更进一步的联系
5.2.1 黎曼阶梯素数计数函数
5.2.2 切比雪夫函数
6 零点
7 函数值
7.1 当s为正整数
7.2 s趋近于1
7.3 负整数
7.4 复数值
7.5 幅角
7.6 函数值表
7.7 临界线上的数值计算
8 参考资料
9 相关条目

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