线性回归算法的数学原理

在机器学习中，调用算法是件比较容易的事，但是我们想要将机器学习理解的更加透彻，就必须深刻理解每一种算法背后的数学原理，这对于我们后期调整算法参数，改进算法模型有着非常大的帮助。

其实看到这一大长串数学公式，我心里也很绝望，但是没办法呀，为了能深入理解线性回归原理，喝二两白酒也要给自己打打气。下面，我们一步一步去理解线性回归的数学原理。

下面是一个银行贷款的案例，银行会根据我们的年龄以及工资来决定我们的可贷款金额。现我们绘制一个拟合平面对该数据集进行拟合。其中$X_1$,$X_2$就是我们的年龄以及工资特征，$y$是我们的可贷款额度。

由于对Markdown语法中的LaTex语法格式不是很熟悉，所以我就手写了整个推导过程，虽然字比较丑，但表达的意思没有变。下面我们就一步一步来理解整个推导过程。

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1式为拟合平面方程：其中${\theta }_1$，${\theta }_2$为特征值的权重参数，${\theta }_0$为常数项。

2式是将拟合平面方程转化为向量表达形式，其中添加了一项$X_0$ = 1，以使得$h_{\theta }(x)$可表示为向量形式。

3式中真实值$y^i$等于预测值${\theta }^T\ast X$加上误差值${\xi }^i$。
现假设误差项${\xi }^i$ 是独立且具有相同分布，并且服从均值为0，方差为${\theta }^2$ 的高斯分布。所以误差项服从4式的概率分布函数，现将3式带入4式可得5式。

5式为关于偏差${\xi }^i$的概率分布，概率分布（probability）与似然函数（likelihood）很相近，但又有所不同。似然：一个事件的计算结果介于0~1之间，这个值与一个事件发生的概率值是一样的，但它并不表示该事件发生的概率，只是很像概率，所以叫做似然。

统计学中，似然函数是一种关于统计模型参数的函数。给定输入x时，关于参数θ的似然函数L(θ|x)（在数值上）等于给定参数θ后变量X的概率：L(θ|x)=P(x|θ)。

6式是关于$\theta$参数的似然函数，使用累乘是将每一个样本的结果都要考虑进来。

7式是对6式做了对数变换，将累乘形式转化为累加形式，方便后面的计算。

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下面我们就对这个对数似然函数进行求解。

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8式是我们对7式进行了展开化简得到的结果。

9式是去掉8式中的常数项，保留含有参数$\theta$的部分，$y^i-{\theta }^T\ast X$就是我们的误差项，我们做预测，当然是希望我们预测的非常准确，误差最小。所以就得到了我们的目标函数$J(\theta )$。

为求得目标函数$J(\theta )$的最小值，对$J(\theta )$求偏导，得出$\theta$值。

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以上过程就是线性回归算法的数学原理推导，线性回归算法是数学上的一种巧合，刚好可以利用求偏导的方法求解其极小值，对于其他非线性的算法，我们就无法通过这种方式来直接求解了。

总结下我们的推导过程：
构造拟合平面函数 — 引入误差项 — 求解关于θ的似然函数 — 变换为对数似然 （目标函数）— 求解极小值。

在做机器学习任务时，不管是回归还是分类，我们的目标都是使得我们预测的结果尽可能准确，使得预测值与真实值之间的误差尽可能小，这个误差就叫做损失。