用Python处理一些简单的数学问题的方法

需要用到的工具有：sympy，numpy和scipy库。

一、用SymPy库求符号解

1. 求极限

求极限使用limit函数，其函数调用格式为limit(e, z, z0, dir='+')，用于计算函数e(z)在z0处的极限。
参数表：

• e：表达式，需要求极限的式子。
• z：用于求极限的符号变量，表达式中其他符号变量视为常量。
• z0：z趋向的数值，无穷大表示为oo, -oo。
• dir：可选字符串类型参数，默认为+，表示极限的方向。如果dir=+-则计算双侧极限，dir=+计算右极限，dir=-计算左极限。

使用举例：

1. 求${\lim }_{x\to 0}\frac{\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}x}{x}$的值，代码如下：

   from sympy import *
   from sympy.abc import x
   print(limit(sin(x)/x, x, 0))
   

   输出为1。
2. 求${\lim }_{x\to 0^{+}}\frac{1}{x}$与${\lim }_{x\to 0^{-}}\frac{1}{x}$，代码如下：

   from sympy import *
   from sympy.abc import x
   print(limit(1/x, x, 0, '+'))
   print(limit(1/x, x, 0, '-'))
   

   输出为oo与-oo。倘若将dir参数改为+-，则会弹出错误：ValueError: The limit does not exist since left hand limit = -oo and right hand limit = oo。

2.求导数/偏导

求导数使用diff函数，其调用格式为diff(f, *symbols, **kwargs)，求f关于symbols的导数。也可以求高阶导数，一般的使用方式是diff(func, x, n)，这里n是可选的阶数，默认为一阶。
使用举例：

1. 求$f^{\prime }(x),f(x)={\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}}^{2}x\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}x$，代码如下：

   from sympy import *
   from sympy.abc import x
   f = cos(x)**2*sin(x)
   print(diff(f, x))
   

   输出为-2*sin(x)**2*cos(x) + cos(x)**3。
2. 已知$z=\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}x+x^2{e}^y$，求$\frac{{\partial }^{2}z}{\partial x\partial y}$与$\frac{{\partial }^{2}z}{\partial x^2}$，代码如下：

   from sympy import *
   from sympy.abc import x, y
   z = sin(x) + x**2*exp(y)
   print(diff(z, x, y))
   print(diff(z, x, 2))
   

   输出为2*x*exp(y)与2*exp(y) - sin(x)。

3.求积分

求积分包括定积分与不定积分，使用integrate函数，其调用格式为integrate(f, var, ...)，这里f是被积函数，var可以是单个函数变量（不定积分），也可以是一个给出上下限的元组(symbol, a, b)（定积分）。
使用举例：

1. 求$\int xy\mathrm{d}x$，代码如下：

   from sympy import *
   from sympy.abc import x, y
   f = x*y
   print(integrate(f, x))
   

   输出为x**2*y/2。
2. 求${\int }_1^a\mathrm{l}\mathrm{n}x\mathrm{d}x$，代码如下：

   from sympy import *
   from sympy.abc import x, a
   f = log(x)
   print(integrate(f, (x, 1, a)))
   

   输出为a*log(a) - a + 1。
3. 求$\int e^{x^2}\mathrm{d}x$，代码如下：

   from sympy import *
   from sympy.abc import x
   f = exp (x**2)
   print(integrate(f, x))
   

   输出为sqrt(pi)*erfi(x)/2。

4.求泰勒展开

求泰勒展开可以用series函数，其调用格式为series(expr, x=None, x0=0, n=6, dir='+')，参数释义如下：

• expr：被展开的表达式。
• x：符号变量，表达式中对其展开。
• x0：在何处展开，不能是oo。
• n：展开的阶数。
• dir：可选字符串类型，默认为+，表示泰勒展开的方向。

使用举例：求$\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}x$在$x=0$处的1，3，5，7阶展开。代码如下：

from sympy import *
from sympy.abc import x
y = sin(x)
for i in range(1, 8, 2):
	print(series(y, x, 0, i))

输出结果为

O(x)
x + O(x**3)
x - x**3/6 + O(x**5)
x - x**3/6 + x**5/120 + O(x**7)

5.级数求和

级数求和使用summation函数，调用格式为summation(f, (i, a, b))，等价于计算$$\sum _{i=a}^{b}f(i)。$$
使用举例：

1. 计算${\sum }_{k=1}^{\infty }\frac{1}{k^2}$，代码如下：

   from sympy import *
   from sympy.abc import k
   f = 1/k**2
   print(summation(f, (k, 1, oo)))
   

   输出为pi**2/6。
2. 计算${\sum }_{k=1}^n{k}^3$，代码如下：

   from sympy import *
   from sympy.abc import k, n
   f = k**3
   print(summation(f, (k, 1, n)))
   

   输出为n**4/4 + n**3/2 + n**2/4。

6.多项式的处理

对于多项式，有一些处理的函数如下。

函数	作用
expand	展开多项式
factor	因式分解
collect	合并同类项
cancel	有理分式化简
apart	分式展开为真分式

使用举例：

from sympy import *
from sympy.abc import x, y

#将多项式展开
expr1 = (x**2+3*x)*(x**2+4)
print("expr1 = ", expand(expr1))
#因式分解
expr2 = x**4 + 2*x**3 + x**2
print("expr2 = ", factor(expr2))
#合并同类项
expr3 = x*y + 2*x**2 + x**2*y**2+3*x
print("expr3 = ", collect(expr3, x))
#有理分式化简
expr4 = (x**3 + 3*x**2 + 3*x + 1)/(x+1)
print("expr4 = ", cancel(expr4))
#化为真分式
expr5 = (x**4 + 4*x**3 + 4*x**2 + 2*x + 1)/(x**2 + x - 1)
print("expr5 = ", apart(expr5))

输出结果为：

expr1 =  x**4 + 3*x**3 + 4*x**2 + 12*x
expr2 =  x**2*(x + 1)**2
expr3 =  x**2*(y**2 + 2) + x*(y + 3)
expr4 =  x**2 + 2*x + 1
expr5 =  x**2 + 3*x + 3*(x + 1)/(x**2 + x - 1) + 2

7.解方程（符号解）

解方程使用solve函数，一般调用格式为solve(f, symbols)，解出方程f(x)=0的根。此函数也用于解多元函数组，这时候f和symbols均以列表的形式传入。
使用举例：

1. 解方程$x^3-3x^2+x=1$，代码如下：

   from sympy import *
   from sympy.abc import x
   f = x**3 - 3**2 + x - 1
   print(solve(f, x))
   

   输出为[2, -1 - 2*I, -1 + 2*I]。
2. 解方程组
   $$\{\begin{array}{l}{x}^2+y^2=1,\\ x-y=0.\end{array}$$
   代码如下：

   from sympy import *
   from sympy.abc import x, y
   f = [x**2+y**2-1, x-y]
   print(solve(f, [x, y]))
   

   输出为[(-sqrt(2)/2, -sqrt(2)/2), (sqrt(2)/2, sqrt(2)/2)]。

8.求微分方程的符号解

求微分方程的符号解使用dsolve函数，在声明符号变量时，要将函数指定为符号变量，这可以使用Function()函数。如果是初值问题，还要用ics参数指定初值。
使用举例：

1. 求非齐次微分方程$y^{\prime \prime }-5y^{\prime }+6y=x{e}^{2x}$的解，代码如下：

   from sympy import *
   x = symbols('x')
   y = Function('y') #或y = symbols('y', cls=Function)
   eq = diff(y(x), x, 2) - 5*diff(y(x), x) + 6*y(x) - x*exp(2*x)
   print(dsolve(eq, y(x)))
   

   输出为Eq(y(x), (C1 + C2*exp(x) - x**2/2 - x)*exp(2*x))，即$y(x)=(C_1+C_2{e}^x-\frac{x^2}{2}-x)e^{2x}$。
2. 求初值问题$y^{\prime \prime }-5y^{\prime }+6y=0,y(0)=1,y^{\prime }(0)=0$的解，代码如下：

   from sympy import *
   x = symbols('x')
   y = Function('y')
   eq = diff(y(x), x, 2) - 5*diff(y(x), x) + 6*y(x)
   result = dsolve(eq, y(x), ics={y(0):1, diff(y(x),x).subs(x,0):0})
   print(result)
   

   输出为Eq(y(x), (3 - 2*exp(x))*exp(2*x))，即$y(x)=(3-2e^x)e^{2x}$。注意，f.subs(x,0)指将f中的x赋值为0。

二、用scipy库求数值解

使用scipy库相比sympy库的符号形式要显得麻烦一些，因为它依赖于numpy的数组。

1.一重积分

求一重积分，用到scipy.integrate库中的quad函数，其调用方式为quad(f, a, b)，这里f是被积函数，a,b是其积分下上限，返回一个元组，其中第一个数是积分值，第二个数是误差范围。注意f要传入一个函数（lambda函数或def函数）而不是一个表达式。
使用示例：求$\frac{\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}x}{x}$在$[0,1]$上的积分。代码如下：

import numpy as np
from scipy.integrate import quad
f = lambda x: np.sin(x)/x #这里使用的是numpy的sin函数
	result = quad(f, 0, 1)
print(result)

输出结果为(0.9460830703671831, 1.0503632079297089e-14)。

2.二重积分

求二重积分，使用的是scipy.integrate中的dblquad()函数，一般的调用格式为dblquad(func, a, b, gfun, hfun)，这里被积函数func的声明格式为func(y,x)（内部参数的顺序按照累次积分的顺序），a,b,gfun,hfun均为积分限，且按照积分的书写顺序来。
使用示例：求二重积分
$$I=\underset{x^2+y^2\le 1}{\iint }{e}^{-\frac{x^2}{2}}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}(x^2+y)dxdy$$
我们要先将其化成累次积分，为
$$I={\int }_{-1}^{1}dx{\int }_{-\sqrt{1-x^2}}^{\sqrt{1-x^2}}f(x)dy$$
代码如下：

from scipy.integrate import dblquad
import numpy as np
f = lambda y,x: np.exp(-x**2/2)*np.sin(x**2+y) #注意参数顺序
bd = lambda x: np.sqrt(1-x**2) #积分限
result = dblquad(f, -1, 1, lambda x:-bd(x), bd) #这里不能直接写-bd
print(result)

运行结果为：(0.5368603826989582, 3.696155159715886e-09)。

3.三重积分

三重积分使用scipy.integrate中的tplquad函数，其调用方式与dblquad类似。
使用举例：求$$I={\int }_0^{2}dx{\int }_{-\sqrt{2x-x^2}}^{\sqrt{2x-x^2}}dy{\int }_0^{6}z\sqrt{x^2+y^2+1}dz$$
代码如下：

from scipy.integrate import tplquad
import numpy as np
f = lambda z,y,x: z*np.sqrt(x**2+y**2+1)
bd = lambda x: np.sqrt(2*x-x**2)
result = tplquad(f, 0, 2, lambda x:-bd(x), bd, 0, 6)
print(result)

输出为(87.45019779526699, 8.742462398458883e-08)。

4.求非线性方程组的数值解

非线性方程组的求解，使用scipy.optimize中的fsolve函数，其调用格式为fsolve(func, x0, ...)，求解的是func=0。这里x0是一个n维数组，代表方程的初始猜测值。
使用示例：求解非线性方程组$$\{\begin{array}{l}5x_2+3=0\\ 4x_1-2\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}(x_2{x}_3)=0\\ x_2{x}_3-1.5=0\end{array}$$
代码如下：

from scipy.optimize import fsolve
import numpy as np
f = lambda x: [5*x[1]+3, 4*x[0]-2*np.sin(x[1]*x[2]), x[1]*x[2]-1.5] #这里x是一个列表，f也是一个列表
result = fsolve(f, [1.0, 1.0, 1.0]) #猜测值列表是一个与x同维度的列表
print(result)

输出结果为[ 0.49874749 -0.6 -2.5 ]。

5.求一元函数的极值点

求一元函数的极值点，用的是scipy.optimize库中的fminbound函数，其调用方式为fminbound(f, a, b)，求函数f在$[a,b]$上的极小值点。
使用示例：求$x^2-2x+1$在$[-5,5]$上的极小值点与极小值，代码如下：

from scipy.optimize import fminbound
import numpy as np
f = lambda x: x**2-2*x+1
result = fminbound(f, -5, 5)
print(result)
print(f(result))

输出结果为1.0, 0.0。

6.求多元函数的极值点

求多元函数的极值点，用的是scipy.optimize库中的minimize函数，其调用方式为minimize(fun, x0, args=(), method=None)。这里fun是要求极小值的函数，x0是初始猜测值，method表示使用的算法。最后使用结果的x和fun属性得到结果。
使用示例：求$f(x)=100(x_2-x_1^2{)}^2+(1-x_1{)}^2$的极小值点与极小值，代码如下：

from scipy.optimize import minimize
import numpy as np
f = lambda x: 100*(x[1]-x[0]**2)**2+(1-x[0])**2
result = minimize(f, [2.0, 2.0])
print(result.x, result.fun)

输出结果为[0.9999956 0.9999912] 1.9394621611053384e-11，已经很接近极小值点[1, 1]。