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数字信号处理笔记02：离散时间傅里叶变换（DTFT）

一、DTFT的定义

序列x[n]可表示为\frac{1}{2\pi}e^{j\omega n}d\omega的线性组合，即

x[n]=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}X(e^{jw})e^{jwn}dw

其中，X(e^{jw})=\sum_{-\infty}^{\infty}x[n]e^{-jwn}

数字信号处理笔记02：离散时间傅里叶变换（DTFT）_第1张图片

二、DTFT存在的条件

DTFT存在，即X(e^{jw})可明确唯一表示。

1. 一致收敛

数字信号处理笔记02：离散时间傅里叶变换（DTFT）_第2张图片

2. 均方收敛

 3. 冲击函数表示

数字信号处理笔记02：离散时间傅里叶变换（DTFT）_第3张图片

三、DTFT的性质和定理

1. 线性性质

数字信号处理笔记02：离散时间傅里叶变换（DTFT）_第4张图片

2. 时域移位性质

数字信号处理笔记02：离散时间傅里叶变换（DTFT）_第5张图片

3. 频域移位性质

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4. 时间倒置性质

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5. 频域微分性质

数字信号处理笔记02：离散时间傅里叶变换（DTFT）_第8张图片

6. 时域卷积定理

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数字信号处理笔记02：离散时间傅里叶变换（DTFT）_第10张图片

7. 帕斯瓦尔定理

数字信号处理笔记02：离散时间傅里叶变换（DTFT）_第11张图片8. 频域卷积定理

数字信号处理笔记02：离散时间傅里叶变换（DTFT）_第12张图片

四、DTFT的对称性

1. 一般序列

x[n]=x_{Re}[n]+jx_{Im}[n]

x_{Re}[n]=\frac{1}{2}\{x[n]+x^{*}[n]\}

x_{Im}[n] = \frac{1}{2j}\{ x[n] - x^{*}[n] \}

2. 共轭对称序列

x_e[n] = \frac{1}{2}\{ x[n] + x^*[-n] \}

共轭对称：x_e[n] = x_e^*[-n]，实部偶对称，虚部奇对称。

3. 共轭反对称序列

x_o[n]=\frac{1}{2}\{ x[n] - x^*[-n] \}

共轭反对称：x_o[n]=-x_o^*[-n]，实部奇对称，虚部偶对称。

x[n] = x_e[n] + x_o[n]

4. 性质

数字信号处理笔记02：离散时间傅里叶变换（DTFT）_第13张图片

数字信号处理笔记02：离散时间傅里叶变换（DTFT）_第14张图片

 5. 实序列

实数序列x[n] = x^*[n]，则X(e^{jw})=X^*(e^{-jw})，即实数序列的DTFT共轭对称，实部偶对称，虚部奇对称。

数字信号处理笔记02：离散时间傅里叶变换（DTFT）_第15张图片

x_e[n]=\frac{1}{2}\{ x[n] + x^*[-n] \} = \frac{1}{2}\{ x[n] + x[-n] \}其DTFT为X_{Re}(e^{jw})

 数字信号处理笔记02：离散时间傅里叶变换（DTFT）_第16张图片

 x_o[n] = \frac{1}{2}\{ x[n] - x^*[-n] \} = \frac{1}{2}\{ x[n] - x[-n] \}其DTFT为X_{Im}(e^{jw})

数字信号处理笔记02：离散时间傅里叶变换（DTFT）_第17张图片

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