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数字信号处理笔记02：离散时间傅里叶变换（DTFT）

一、DTFT的定义

序列可表示为 $\frac{1}{2\pi}e^{j\omega n}d\omega$ 的线性组合，即

$x[n]=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}X(e^{jw})e^{jwn}dw$

其中， $X(e^{jw})=\sum_{-\infty}^{\infty}x[n]e^{-jwn}$

二、DTFT存在的条件

DTFT存在，即 $X(e^{jw})$ 可明确唯一表示。

1. 一致收敛

2. 均方收敛

3. 冲击函数表示

三、DTFT的性质和定理

1. 线性性质

2. 时域移位性质

3. 频域移位性质

4. 时间倒置性质

5. 频域微分性质

6. 时域卷积定理

7. 帕斯瓦尔定理

8. 频域卷积定理

四、DTFT的对称性

1. 一般序列

$x[n]=x_{Re}[n]+jx_{Im}[n]$

$x_{Re}[n]=\frac{1}{2}\{x[n]+x^{*}[n]\}$

$x_{Im}[n] = \frac{1}{2j}\{ x[n] - x^{*}[n] \}$

2. 共轭对称序列

$x_e[n] = \frac{1}{2}\{ x[n] + x^*[-n] \}$

共轭对称：，实部偶对称，虚部奇对称。

3. 共轭反对称序列

$x_o[n]=\frac{1}{2}\{ x[n] - x^*[-n] \}$

共轭反对称：，实部奇对称，虚部偶对称。

4. 性质

5. 实序列

实数序列，则 $X(e^{jw})=X^*(e^{-jw})$ ，即实数序列的DTFT共轭对称，实部偶对称，虚部奇对称。

$x_e[n]=\frac{1}{2}\{ x[n] + x^*[-n] \} = \frac{1}{2}\{ x[n] + x[-n] \}$ 其DTFT为 $X_{Re}(e^{jw})$

$x_o[n] = \frac{1}{2}\{ x[n] - x^*[-n] \} = \frac{1}{2}\{ x[n] - x[-n] \}$ 其DTFT为 $X_{Im}(e^{jw})$

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