【概率论】羊车门问题

一、问题

羊车门问题（又名三门问题、蒙提霍尔悖论）出自美国《parade》杂志专栏。

有3扇关闭的门，一扇门后停着汽车，另外两扇门后是山羊，主持人知道每扇门后是什么。参赛者首先选择一扇门。在开启它之前，主持人会从另外两扇门中打开一扇门，露出门后的山羊（也就是说主持人只能开羊门）。此时，允许参赛者更换自己的选择。问换还是不换，概率为多少。

二、难点

1.仔细审视题干，特别是加粗部分。

2.我们的直觉倾向于第一轮开出车的概率为⅓，第二轮变两扇门开出车的概率为½。但这样思考是错误的。门与门之间的概率占比并不是一样的，就像灌了铅的骰子，并不是6面均分。这涉及“选门”与“选定一个门后换门”间的差异。

三、解释

试试扩大门数样本就能看出很多东西。如果有100扇门，99羊1车。第一轮有100扇门可以选择，因此他在第一轮选到汽车的概率是1/100。如果选择换门，那么意味着参赛者第一轮选的这扇门后面只要是羊就可以，这样才能在换门后选到汽车，而他在第一轮选到羊的概率是99/100。然后开98扇门。因此换门能赢得汽车的概率更大。这种扩大样本的思维方法，我称之为推极端的思维方法，通过推极端，然后去找出合理的度。而主持人开门收缩样本的思维方法，更像控制论。

设门1、2、3。当你选中门1后，开出车的概率为⅓，另外两扇门是⅔。然后主持只能开出羊。当车在门2，主持开门3。当车在门3，主持开门2。所以如果你改选的话，只要奖品在门2或门3后两种情况你都会赢。但是如果你不改选，只有当奖品在门1后你才会赢。

当你选定门1时，门1就没有参与了主持的淘汰错误答案的过程，所以它的概率与门2、门3的概率是不一样了。也就是说，门1免除了一次筛选，而门2或3已经通过了一次筛选，可能性已经变大了。直观上看门1与门2、门3一样，是因为忽略了这个淘汰过程。而这个淘汰过程是缩小了选择范围。

最简单的办法是画面积图，如图所示（帘=门帘）。

注：这些解释并不严谨。深究应该去研究数学。

四、python代码

import random
change=0
notchange=0
#time表实验次数
count=eval(input("请输入实验次数："))
for i in range(count):
    car=random.randint(0,2)
    goat=random.randint(0,2)
    if(car==goat):
        change+=1
    else:
        notchange+=1
print("不换门得到汽车的机会：{:.1f}".format(change/time))
print("换门得到汽车的机会：{:.1f}".format(notchange/time))