【数学史】数字拼盘（数字华容道）游戏的历史

洛伊德最著名的创作是“14—15”智力玩具，它相当于维多利亚时代的魔方[插图]，玩具店里现在还可以买到。将编号为1到15的15块塑料片排列在一个4×4的网格中，游戏的目的是滑动这些塑料片，将它们重新排成正确的次序。洛伊德的“14—15”智力玩具出售时塑料片的排列次序如图14所示。洛伊德提供了一笔大奖金，无论谁能通过一连串的塑料片滑动将“14”与“15”交换到它们正常的位置就算完成这个游戏，也就能得到奖金。洛伊德的儿子对这个有形的，但本质上却是数字的智力游戏所引起的狂热作了这样的描写：

 

为这个问题的第一个正确答案提供的1 000美元奖金从未有人得到过，虽然有数以千计的人声称他们做到了所要求的那一步。人们被这个游戏弄得神魂颠倒，有些荒谬可笑的传说讲道，一些店主忘了打开店门；一个很出名的牧师竟会整个冬夜伫立在路灯下，苦苦思索着想回忆出他曾经完成的那一个步骤。这个游戏的一个神秘特点是，似乎没有人能记住移动塑料片的一系列步骤，他们认为按照这种步骤他们肯定成功地解答过这个难题。传说有的轮船驾驶员差一点使他们的船出事。有的火车司机把火车开过了站。一位著名的巴尔的摩编辑讲起过这样一件事：他出去吃午饭，结果当他的紧张万分的同事在午夜过后很久找到他时，他还在一只盆子里将馅饼片推来推去。

 

洛伊德却始终坚信他永远不需要付出这1 000美元奖金，因为他知道不可能做到只把两块塑料片调换好而不破坏游戏中其他塑料片之间的次序。采用数学家用来证明某个特定的方程无解所用的同样方法，洛伊德能够证明他的“14—15”难题也是不能解的。

洛伊德的证明首先要定义一个用来衡量游戏中无次序程度的量——错序参数Dp。一个给定排列的错序参数等于次序错误的塑料片对的个数。所以，对正确的排列，如图15（a）中所示，Dp=0。因为任何两片之间的次序都是对的。

[插图]

图15 通过滑动调换各片，可以做出各种各样的错序排列。对每种排列可以用错序参数Dp来衡量错序的程度。

如果从次序正常的排列开始，然后将塑料片滑动调换，那么达到图15（b）中所示的排列是比较容易的。看一下片12和11，它们之间的次序是错的。显然，片11应该在片12之前，所以这一对片的次序错误。次序错误的片对一共有下面这些：（12,11）, （15,13）, （15,14）, （15,11）, （13,11）和（14,11）。这个排列中次序错误的片对有6对，所以Dp=6。（注意：片10和片12彼此相邻，这也是不正确的，但是它们的次序并没有错，因而这种片对在错序参数中不予计算。）

再多做一些滑动，我们就到达图15（c）中所示的排列。如果你算一下次序错误的片对的个数，那么你将发现Dp=12。需注意的要点是，在所有的情形（a）、（b）和（c）中，错序参数的值均为偶数（0,6和12）。事实上，如果你从正确的排列开始，对它进行重新排列，那么上述结论总是对的。只要那个空着的方格在结束时位于右下角，那么不管滑动调换多少次，最后Dp总是偶数值。因此，对于从最初的正确的排列出发而得的排列来说，错序参数的值为偶数是一个共同的性质。在数学中，对于所述对象不管施行多少次变换仍然能保持成立的性质称为不变性质或不变量。

然而，请仔细研究一下洛伊德出售的那种排列，其中14和15被调换了次序，所以它的错序参数是1，即Dp=1，唯一的次序错误的片对是14和15。对于洛伊德的排列，错序参数是一个奇数值！但是我们知道，从正确的排列出发而得的排列其错序参数值应是偶数。于是，结论是洛伊德的排列不可能是从正确的排列出发得到的，反过来说，也不可能从洛伊德的排列返回到正确的排列——洛伊德的1 000美元是安全的。

洛伊德的智力游戏和错序参数展示了不变量的威力。在证明不可能将一个对象变换成另一个对象时，不变量为数学家提供了一种重要的策略。例如，当前活跃的一个领域涉及对扭结（knot）的研究，扭结理论家自然对设法证明一个扭结是否能通过扭曲和打环但不切断的方法变换成另一个扭结的问题很感兴趣。为了回答这个问题，他们试图找出第一个扭结的一种不管做多少次扭曲和打环都不会被破坏的性质——扭结不变量。然后，对第二个扭结计算这个量。如果这两个值是不同的，那么结论就是将第一个扭结变换成第二次扭结必定是不可能的。

在这个方法由库特·雷德马斯特（Kurt Reidemeister）于20世纪20年代发明之前，要证明一个扭结不能转换成别的扭结是无法做到的。换言之，在扭结不变量被发现以前，不可能证明易散结与方结、反手结或甚至根本没有结的环之间是根本不同的。在许多别的数学证明中，不变量的想法也是重要的。像我们将在第五章中看到的那样，费马大定理回到数学的主流也是这个想法起了关键作用。