泊松分布和指数分布
一、泊松分布
1.1 泊松分布的定义
日常生活中，大量事件是有固定频率的。
- 某医院平均每小时出生3个婴儿
- 某公司平均每10分钟接到1个电话
- 某超市平均每天销售4包xx牌奶粉
- 某网站平均每分钟有2次访问
它们的特点就是，我们可以预估这些事件的总数，但是没法知道具体的发生时间。已知平均每小时出生3个婴儿，请问下一个小时，会出生几个？
有可能一下子出生6个，也有可能一个都不出生。这是我们没法知道的。
泊松分布就是描述某段时间内，事件具体的发生概率。
上面就是泊松分布的公式。等号的左边，P 表示概率，N表示某种函数关系，t 表示时间，n 表示数量，1小时内出生3个婴儿的概率，就表示为 P(N(1) = 3) 。等号的右边，λ 表示事件的频率。
接下来两个小时，一个婴儿都不出生的概率是0.25%，基本不可能发生。
接下来一个小时，至少出生两个婴儿的概率是80%。
泊松分布的图形大概是下面的样子。
可以看到，在频率附近，事件的发生概率最高，然后向两边对称下降，即变得越大和越小都不太可能。每小时出生3个婴儿，这是最可能的结果，出生得越多或越少，就越不可能。
1.2 如何理解泊松分布？
1.2.1 甜在心馒头店
公司楼下有家馒头店：
每天早上六点到十点营业，生意挺好，就是发愁一个事情，应该准备多少个馒头才能既不浪费又能充分供应？
你“甜在心馒头店”又不是小米，搞什么饥饿营销啊？老板当然也知道这一点，就拿起纸笔来开始思考。
1.2.2 老板的思考
老板尝试把营业时间抽象为一根线段，把这段时间用T来表示：
把T均分为四个时间段：
此时，在每一个时间段上，要不卖出了（一个）馒头，要不没有卖出：
在每个时间段，就有点像抛硬币，要不是正面（卖出），要不是反面（没有卖出）
T内那么卖出3个馒头的概率，就和抛了4次硬币（4个时间段），其中3次正面（卖出3个）的概率一样了。
1.2.3 p的计算
“那么”，老板用笔敲了敲桌子，“只剩下一个问题，概率p怎么求？”
1.2.4 泊松分布
1.2.5 馒头店的问题的解决
老板依然蹙眉，不知道 μ \mu μ啊？
没关系，刚才不是计算了样本均值：
X ‾ = 5 \overline{X}=5 X=5
可以用它来近似：
X ‾ ≈ μ \overline{X}\approx\mu X≈μ
于是：
P ( X = k ) = 5 k k ! e − 5 P(X=k)=\frac{5^k}{k!}e^{-5} P(X=k)=k!5ke−5
画出概率质量函数的曲线就是：
可以看到，如果每天准备8个馒头的话，那么足够卖的概率就是把前8个的概率加起来：
这样93%的情况够用，偶尔卖缺货也有助于品牌形象。
老板算出一脑门的汗，“那就这么定了！”
1.2.6 总结
这个故事告诉我们，要努力学习啊，要不以后馒头都没得卖。
生活中还有很多泊松分布。比如物理中的半衰期，我们只知道物质衰变一半的时间期望是多少，但是因为不确定性原理，我们没有办法知道具体哪个原子会在什么时候衰变？所以可以用泊松分布来计算。
1.3 泊松分布使用范围
Poisson分布主要用于描述在单位时间(空间)中稀有事件的发生数. 即需满足以下四个条件：
1、给定区域内的特定事件产生的次数，可以是根据时间，长度，面积来定义；
2、各段相等区域内的特定事件产生的概率是一样的；
3、各区域内，事件发生的概率是相互独立的；
4、当给定区域变得非常小时，两次以上事件发生的概率趋向于0。
例如：
1、放射性物质在单位时间内的放射次数；
2、在单位容积充分摇匀的水中的细菌数；
3、野外单位空间中的某种昆虫数等。
1.4 泊松分布的期望和方差
由泊松分布知 E [ N ( t ) − N ( t 0 ) ] = D [ N ( t ) − N ( t 0 ) ] = λ ( t − t 0 ) E[N(t) − N(t_0)] = D[N(t) − N(t_0)] = λ(t − t_0) E[N(t)−N(t0)]=D[N(t)−N(t0)]=λ(t−t0)
特别的，令 t 0 = 0 t_0=0 t0=0.由于假设 N ( 0 ) = 0 N(0)=0 N(0)=0,故可推知泊松过程的均值函数和方差函数分别为 E [ N ( t ) ] = λ t , D [ N ( t ) ] = λ t E[N(t)] = λt,D[N(t)] = λt E[N(t)]=λt,D[N(t)]=λt,
泊松过程的强度 λ \lambda λ（常数）等于单位长时间间隔内出现的质点数目的期望值。即对泊松分布有： E ( X ) = D ( X ) = λ E(X) = D(X) = \lambda E(X)=D(X)=λ
15. 泊松分布的特征
1、泊松分布是一种描述和分析稀有事件的概率分布。要观察到这类事件，样本含量 n n n必须很大。
2、 λ \lambda λ是泊松分布所依赖的唯一参数。 λ \lambda λ值愈小，分布愈偏倚，随着 λ \lambda λ的增大，分布趋于对称。
3、当 λ = 20 \lambda= 20 λ=20时，分布泊松接近于正态分布；当 λ = 50 \lambda= 50 λ=50时，可以认为泊松分布呈正态分布。在实际工作中，当时就可以用正态分布来近似地处理泊松分布的问题。
二、指数分布
2.1 指数分布的定义
指数分布是事件的时间间隔的概率。
下面这些都属于指数分布。
- 婴儿出生的时间间隔
- 来电的时间间隔
- 奶粉销售的时间间隔
- 网站访问的时间间隔
指数分布的公式可以从泊松分布推断出来。如果下一个婴儿要间隔时间 t ，就等同于 t 之内没有任何婴儿出生。
反过来，事件在时间 t 之内发生的概率，就是1减去上面的值。
接下来15分钟，会有婴儿出生的概率是52.76%。
接下来的15分钟到30分钟，会有婴儿出生的概率是24.92%。
指数分布的图形大概是下面的样子。
可以看到，随着间隔时间变长，事件的发生概率急剧下降，呈指数式衰减。想一想，如果每小时平均出生3个婴儿，上面已经算过了，下一个婴儿间隔2小时才出生的概率是0.25%，那么间隔3小时、间隔4小时的概率，是不是更接近于0？
指指数分布的概率密度为：
式中： x x x是给定的时间； λ \lambda λ为单位时间事件发生的次数； e ＝ 2.71828 e＝2.71828 e＝2.71828。
指数分布概率密度曲线如下图：
2.2 指数分布的特征
指数分布具有以下特征：
（1）随机变量 X X X的取值范围是从0到无穷；
（2）极大值在 x ＝ 0 x＝0 x＝0处，即 f ( x ) ＝ λ f(x)＝\lambda f(x)＝λ；
（3）函数为右偏，且随着 x x x的增大，曲线稳步递减；
（4）随机变量的期望值和方差为 μ ＝ 1 / λ ， σ 2 ＝ 1 / λ 2 \mu＝1/\lambda，\sigma^2＝1/\lambda^2 μ＝1/λ，σ2＝1/λ2。
通过对概率密度函数的积分，就可以得到相应的概率，其表达式有两种
P ( X ≥ x ) ＝ e − λ x P(X\geq x)＝e^{-\lambda x} P(X≥x)＝e−λx
P ( X ≤ x ) ＝ 1 － e − λ x P(X\leq x)＝1－e^{-\lambda x} P(X≤x)＝1－e−λx
例：某电视机生产厂生产的电视机平均10年出现大的故障，且故障发生的次数服从泊松分布。
问（1）该电视机使用15年后还没有出现大故障的比例；（2）如果厂家想提供大故障免费维修的质量担保，但不能超过全部产量的20%，试确定提供担保的年数。
解：
（1）设X为电视机出现大故障的时间。已知 μ ＝ 10 \mu＝10 μ＝10年，则 λ ＝ 1 / μ ＝ 0.1 \lambda＝1/\mu＝0.1 λ＝1/μ＝0.1，于是， P ( X ≥ x ) ＝ e − λ x ＝ e − 0.1 ∗ 15 ≈ 0.223 P(X≥x)＝e^{-λx}＝e^{-0.1*15}≈0.223 P(X≥x)＝e−λx＝e−0.1∗15≈0.223。则15年后，没有出现大故障的电视机约占22.3%。
（2）问题要求比例不超过20%，这是求X的右侧概率面积，现在根据公式确定适当的X值。
从表中可以看到：担保2年时，出现大故障的比例是18.1%，不超过20%。担保3年时，出现大故障的比例为25.9%，已经超过20%。所以，厂家应以2年为担保期。
三、总结
一句话总结：泊松分布是单位时间内独立事件发生次数的概率分布，指数分布是独立事件的时间间隔的概率分布。
请注意是”独立事件”，泊松分布和指数分布的前提是，事件之间不能有关联，否则就不能运用上面的公式。
泊松分布是二项式分布的细分，当n→∞，p非常小的时候。
https://www.matongxue.com/madocs/858/
http://www.woshipm.com/pmd/163461.html
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