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matlab求两向量夹角_【解析几何】向量定比分点与圆锥曲线

matlab求两向量夹角_【解析几何】向量定比分点与圆锥曲线_第1张图片

大家好，还没有开学在家闲的慌，就尝试在知乎写文章，第一次写，有些不好或不对的地方希望各位多多指正（高二在读⊙﹏⊙）

知识介绍

在平面直角坐标系中，已知A、B两点的坐标分为

，
，P点坐标为
，且
，即(
)那么我们就说P分有向线段
的比为
，则有：

，
，这就是
定比分点坐标公式。

当P为内分点时，

;

当P为外分点时，，

这个公式在解决某些解析几何问题中有着很强大的作用，运用好往往可以几步就解决一个大题

先看一个例题

已知A,B是椭圆

上的两个动点，设点C(0,16)，且
求
取值范围.

解:由题意得

(
>0)设A(
)B(
)由定比分点公式可知

，
则
，

又因为点A,B在椭圆上，则有

① ,
②

①-②整理得

因为

，
则

即

与
联立解得

又

即
得

题2如图，已知椭圆

，过P(4,1)作直线l交椭圆于A(
)B(
)(
),且在AB上存在点Q使得
,求Q的轨迹方程.

matlab求两向量夹角_【解析几何】向量定比分点与圆锥曲线_第2张图片

分析：条件有两组定比分点关系，可得4个关系式

①，
②，

③，
④

将

即①
③ ，②
④得
,
再结合A，B再椭圆上即
，
进行配凑即可

解：设

，点Q（
），由定比分点公式可得
①，
②，
③，
④

①

③ ，②
④得
⑤，
⑥

又A,B在椭圆上则，

，

⑤

+⑥
可得，
即Q的轨迹为

再看一题

例：设椭圆

过点M(
)且焦点
.

(1)求椭圆方程(2)若过点P(4,1)的动直线l与椭圆交于不同两点A,B在

上取点Q，满足
,试证明：点Q在定直线上，并求出定直线方程.

matlab求两向量夹角_【解析几何】向量定比分点与圆锥曲线_第3张图片

解:由

可设
即
,
,设A(
)B(
)Q(
)再由定比分点得出
，
，
，
则
,
，
，

又A,B在椭圆上故

①，
②

①-②得

带人得

,

故Q在定直线

.

这题和上一题很相似，是同一个模型的题，这两题的做法看似不同，其实本质上是一样的都是在一个方程中把λ和其他点坐标消掉，最终得到点的轨迹.

再看看两个参数的题目

例：双曲线和椭圆 有相同焦点，直线y=

是双曲线的一条渐近线

（1）求双曲线的方程（2）过点P（0，4）的直线交双曲线于A,B两点，交x轴于Q点（与双曲线顶点不重和）若

,且
求Q点坐标.

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2006年山东卷

(1)此问较简单直接给出答案

(2)设Q

,A（
），B（
）由
及定比分点公式可得
，
，
，

点A,B坐标结构一样，可设L方程为x=

，

与

联立整理得
把他看成关于λ的方程，因为
则有
，又

故

解得
故Q点坐标为（2，0）或（-2，0）

题2：抛物线

上一点M(3,
)到其焦点
距离为4椭圆
(
)的离心率为
，且过抛物线焦点
(1)求抛物线
和椭圆
的标准方程(2)过点
的直线l交抛物线
于A,B两不同点，交
轴于点
,已知
,
,求证
为定值

解:(1)较简单这里就直接给出答案，

，

(2)考试的标准答案：由题意直线l的斜率必存在，设l的斜率为

，
,则
，

联立

消去
可得到
，

故

，
，

由

，
得
，
，所以
=
=
=

用定比分点的另一种做法:，由题意

设
,

因为

，
，由定比分点公式可知
，
，
，

A,B点坐标结构一样故可设

的方程为
，
与抛物线方程联立得

即
，
即
=

这个结论还可广至整个圆锥曲线：圆锥曲线中，过焦点

的
焦点弦的延长线与另一坐标轴的交点为
，
有
,
，
则
为定值

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还有一个题目QAQ （比前面的稍微难一点）

设点

为椭圆
的两个焦点，
为椭圆上任意一点，两条直线
分别交椭圆与异于
的两点，若
,
,试证明：
为定值

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分析：不妨设

，
由
，
及定比分点公式可得出
，
，
，
即
，
，
，然后构造
,
,与原方程相减即可

解:设

，
由
，
,由向量定比分点公式得
，
，
，
即
，
，
，又
在椭圆上，则有

①
②
③

①-②得

即

④同理①-③得
⑤

联立④与

得
同理联立⑤与
得

则

=
整理得
解得
=

这个结论可以推广至圆锥曲线(不包括抛物线)：

为椭圆(双曲线)两焦点，
为曲线上任意一点,直线
分别交曲线于
，若
，

则
为定值.

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总结:在一条直线上出现向量

情况时运用定比分点公式可以帮助我们更快解题(1)一组向量成比值
，
则可化成
① ,
②
作差求解

(2)两组向量成比值

，
用定比分点化成4个式子后，①可对应相乘再利用点在曲线上求解②可化成(1)中的形式作差求解

(3)两组向量成不同比例

，用定比分点得到4个式子后，若在曲线上两个点的坐标结构相同，则可设直线关于λ的参数方程，然后与曲线联立得出
之间的关系（点个赞再走吧，嘻嘻嘻）

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