matlab求两向量夹角_【解析几何】向量定比分点与圆锥曲线

大家好，还没有开学在家闲的慌，就尝试在知乎写文章，第一次写，有些不好或不对的地方希望各位多多指正（高二在读⊙﹏⊙）

知识介绍

在平面直角坐标系中，已知A、B两点的坐标分为

，

，P点坐标为

，且

，即(

)那么我们就说P分有向线段

的比为

，则有：

，

，这就是

定比分点坐标公式。

当P为内分点时，

;

当P为外分点时，，

这个公式在解决某些解析几何问题中有着很强大的作用，运用好往往可以几步就解决一个大题

先看一个例题

已知A,B是椭圆

上的两个动点，设点C(0,16)，且

求

取值范围.

解:由题意得

(

>0)设A(

)B(

)由定比分点公式可知

，

则

，

又因为点A,B在椭圆上，则有

① ,

②

①-②整理得

因为

，

则

即

与

联立解得

又

即

得

题2如图，已知椭圆

，过P(4,1)作直线l交椭圆于A(

)B(

)(

),且在AB上存在点Q使得

,求Q的轨迹方程.

分析：条件有两组定比分点关系，可得4个关系式

①，

②，

③，

④

将

即①

③ ，②

④得

,

再结合A，B再椭圆上即

，

进行配凑即可

解：设

，点Q（

），由定比分点公式可得

①，

②，

③，

④

①

③ ，②

④得

⑤，

⑥

又A,B在椭圆上则，

，

⑤

+⑥

可得，

即Q的轨迹为

再看一题

例：设椭圆

过点M(

)且焦点

.

(1)求椭圆方程(2)若过点P(4,1)的动直线l与椭圆交于不同两点A,B在

上取点Q，满足

,试证明：点Q在定直线上，并求出定直线方程.

解:由

可设

即

,

,设A(

)B(

)Q(

)再由定比分点得出

，

，

，

则

,

，

，

又A,B在椭圆上故

①，

②

①-②得

带人得

,

故Q在定直线

.

这题和上一题很相似，是同一个模型的题，这两题的做法看似不同，其实本质上是一样的都是在一个方程中把λ和其他点坐标消掉，最终得到点的轨迹.

再看看两个参数的题目

例：双曲线和椭圆 有相同焦点，直线y=

是双曲线的一条渐近线

（1）求双曲线的方程（2）过点P（0，4）的直线交双曲线于A,B两点，交x轴于Q点（与双曲线顶点不重和）若

,且

求Q点坐标.

2006年山东卷

(1)此问较简单直接给出答案

(2)设Q

,A（

），B（

）由

及定比分点公式可得

，

，

，

点A,B坐标结构一样，可设L方程为x=

，

与

联立整理得

把他看成关于λ的方程，因为

则有

，又

故

解得

故Q点坐标为（2，0）或（-2，0）

题2：抛物线

上一点M(3,

)到其焦点

距离为4椭圆

(

)的离心率为

，且过抛物线焦点

(1)求抛物线

和椭圆

的标准方程(2)过点

的直线l交抛物线

于A,B两不同点，交

轴于点

,已知

,

,求证

为定值

解:(1)较简单这里就直接给出答案，

，

(2)考试的标准答案：由题意直线l的斜率必存在，设l的斜率为

，

,则

，

联立

消去

可得到

，

故

，

，

由

，

得

，

，所以

=

=

=

用定比分点的另一种做法:，由题意

设

,

因为

，

，由定比分点公式可知

，

，

，

A,B点坐标结构一样故可设

的方程为

，

与抛物线方程联立得

即

，

即

=

这个结论还可广至整个圆锥曲线：圆锥曲线中，过焦点

的

焦点弦的延长线与另一坐标轴的交点为

，

有

,

，

则

为定值

还有一个题目QAQ （比前面的稍微难一点）

设点

为椭圆

的两个焦点，

为椭圆上任意一点，两条直线

分别交椭圆与异于

的两点，若

,

,试证明：

为定值

分析：不妨设

，

由

，

及定比分点公式可得出

，

，

，

即

，

，

，然后构造

,

,与原方程相减即可

解:设

，

由

，

,由向量定比分点公式得

，

，

，

即

，

，

，又

在椭圆上，则有

①

②

③

①-②得

即

④同理①-③得

⑤

联立④与

得

同理联立⑤与

得

则

=

整理得

解得

=

这个结论可以推广至圆锥曲线(不包括抛物线)：

为椭圆(双曲线)两焦点，

为曲线上任意一点,直线

分别交曲线于

，若

，

则

为定值.

总结:在一条直线上出现向量

情况时运用定比分点公式可以帮助我们更快解题(1)一组向量成比值

，

则可化成

① ,

②

作差求解

(2)两组向量成比值

，

用定比分点化成4个式子后，①可对应相乘再利用点在曲线上求解②可化成(1)中的形式作差求解

(3)两组向量成不同比例

，用定比分点得到4个式子后，若在曲线上两个点的坐标结构相同，则可设直线关于λ的参数方程，然后与曲线联立得出

之间的关系（点个赞再走吧，嘻嘻嘻）