递归算法的时间复杂度——公式法、递归树法

公式法

形如：$f(n)=af(n/b)+d(n)$

①若d(n)为常数，则
$f(n)=\{\begin{array}{ll}O(logn),& a=1\\ O(n^{lo{g}_{b}a}),& a\ne 1\end{array}$

②d(n)不为常数，则
$f(n)=\{\begin{array}{ll}O(n),& a<b\\ O(nlogn),& a=b\\ O(n^{lo{g}_{b}a}),& a>b\end{array}$

Notes:
1.公式中log的$logn$的底数是省略的，因为n->∞，底数无论是何值都不影响最终的结果。
2.不满足公式法的递归方程则应采用递归树求时间复杂度，以上公式也均可以由递归树推导。

递归树法

下面用以一个例子来介绍递归树法。

T(n) = T(n/3) + T(2n/3) + n
*式子中，n是问题的规模
首先，通过表达式我们知道 T(n)的时间复杂度为T(n/3)，T(2n/3)以及n的时间复杂度之和，可用如下树形表示：

同理，T(n/3)=T(n/3²)+T(2²n/3²)+n/3也以相同的形式表示在递归树中。以此类推，可得如下递归树：

因为时间复杂度要考虑最坏情况，所以应选择树中最长的路径，即：
n->(2/3)n->(2/3)²n->(2/3)³n->……->(3/2)^kn
递归树中叶子结点要化为1，所以(2/3)^kn=1，可以得到$k=lo{g}_{2/3}n$.

递归树上所有结点的总和为$n(1+k)=n(lo{g}_{3/2}n+1)$.
根据时间复杂度的渐进性质与加法原理，可得：f(n)的时间复杂度为O(nlogn)。

本篇参考文章来源：http://www.cnblogs.com/wu8685/archive/2010/12/21/1912347.html