李永乐复习全书概率论与数理统计 第七、八章 参数估计及假设检验

第七章  参数估计

第八章  假设检验

例题八

例4  从两个煤矿各抽样数次，分析其含灰率（%），结果如下。假设各煤矿的含灰率分别服从正态分布，问甲、乙两煤矿的含灰率有无显著差异（取显著性水平$\alpha =0.05$）？

甲矿	乙矿
$24.3$	$18.2$
$20.8$	$16.9$
$23.7$	$20.2$
$21.3$	$16.7$
$17.4$	$--$

解  假设甲、乙两个煤矿的含灰率分别为$X$和$Y$，且$X\sim N({\mu }_1,{\sigma }_1^2),Y\sim N({\mu }_2,{\sigma }_2^2)$，其中${\mu }_1,{\mu }_2,{\sigma }_1^2,{\sigma }_2^2$均为未知，从总体$X$和$Y$各自抽取的样本容量分别为$n_1=5,n_2=4$。
  首先，在显著性水平$\alpha =0.05$下检验假设$H_0:{\sigma }_1^2={\sigma }_2^2,H_1:{\sigma }_1^2\ne {\sigma }_2^2$，检验统计量$F=\frac{S_1^2}{S_2^2}\sim F(n_1-1,n_2-1)$，拒绝域为$W=\{F⩽F_{1-\frac{\alpha }{2}}(n_1-1,n_2-1)或F⩾F_{\frac{\alpha }{2}}(n_1-1,n_2-1)\}$。
  由已知样本算得$\overline{x}=21.5,\overline{y}=18.0,S_1^2=7.505,S_2^2=2.593$，从而得$F=\frac{S_1^2}{S_2^2}=\frac{7.505}{2.593}$。
  查$F$分布表，可得$F_{\frac{\alpha }{2}}(n_1-1,n_2-1)=F_{0.025}(5-1,4-1)=15.10,F_{1-\frac{\alpha }{2}}(n_1-1,n_2-1)=\frac{1}{F_{\frac{\alpha }{2}}(n_2-1,n_1-1)}=\frac{1}{F_{0.025}(4-1,5-1)}=\frac{1}{9.98}=0.10$。因为$0.10<F=2.894<15.10$，所以接受原假设$H_0$，即认为${\sigma }_1^2={\sigma }_2^2$。
  再在显著性水平$\alpha =0.05$下检验假设$H_0^{\prime }:{\mu }_1={\mu }_2,H_1^{\prime }:{\mu }_1\ne {\mu }_2$，检验统计量为$t=\frac{\overline{X}-\overline{Y}}{S_w\sqrt{\frac{1}{n_1}+\frac{1}{n_2}}}\sim t(n_1+n_2-2)$，拒绝域为$W=\{|t|⩾t_{\frac{\alpha }{2}}(n_1+n_2-2)\}$。
  由于$S_w^2=\frac{(n_1-1)S_1^2+(n_2-1)S_2^2}{n_1+n_2-2}=\frac{(5-1)\times 7.505+(4-1)\times 2.593}{5+4-2}=5.4,S_w=\sqrt{S_w^2}=\sqrt{5.4}=2.32$。因此$t=\frac{\overline{X}-\overline{Y}}{S_w\sqrt{\frac{1}{n_1}+\frac{1}{n_2}}}=\frac{21.5-18.0}{2.32\times \sqrt{\frac{1}{5}+\frac{1}{4}}}=2.245$。查$t$分布表，可得$t_{\frac{\alpha }{2}}(n_1+n_2-2)=t_{0.025}(5+4-2)=2.3646$。因为$|t|=2.245<2.3646$，所以接受原假设$H_0^{\prime }$。即认为甲、乙两个煤矿的含灰率没有显著差异。（这道题主要利用了假设检验求解）

练习八

2.已知$X\sim N({\mu }_1,{\sigma }_1^2),Y\sim N({\mu }_2,{\sigma }_2^2)$，为检验总体$X$的均值大于$Y$的均值，则应作检验假设（  ）。
$(A)H_0:{\mu }_1>{\mu }_2;H_1:{\mu }_1⩽{\mu }_2;$
$(B)H_0:{\mu }_1⩾{\mu }_2;H_1:{\mu }_1<{\mu }_2;$
$(C)H_0:{\mu }_1<{\mu }_2;H_1:{\mu }_1⩾{\mu }_2;$
$(D)H_0:{\mu }_1⩽{\mu }_2;H_1:{\mu }_1>{\mu }_2.$

解  假设$H_0$中必须要有等号，故选$(D)$。（这道题主要利用了原假设定义求解）

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