生成两组相互独立服从标准正态分布的随机数（推导过程）

预备知识：均匀分布的特殊地位

设$F(x)$满足：（1）单调不减（2）$F(-\infty )=0$, $F(\infty )=1$ （3）左连续。对于$0\le y\le 1$，定义$F^{-1}(y)=inf\{x:F(x)>y\}$为$F(x)$的反函数

可见任何分布的分布函数均满足上面条件

若$\xi$服从$F(x)$，记$\theta =F(\xi )$，可知$0\le \theta \le 1$
其分布函数:
$F_{\theta }(x)=p(\theta <x)=p(F(\xi )<x)=p(\xi <F^{-1}(x))=F(F^{-1}(x))=x$

可得，$\theta$的分布函数：
$$F_{\theta }(x)=\{\begin{array}{ll}1& \text{x＞1}\\ x& \text{0≤x≤1}\\ 0& \text{x<0}\end{array}$$
$\theta$的密度函数：
$$p_{\theta }(x)=\{\begin{array}{ll}1& \text{0≤x≤1}\\ 0& \text{其他}\end{array}$$
所以$\theta$服从0-1均匀分布

任意变量经过自身分布函数的变换后就变成了0-1均匀分布，相反，若$\theta \sim U[0,1]$，取$\xi =F^{-1}(\theta )$，其中$F^{-1}(x)$是$\xi$的分布函数的反函数，则此时$\xi$服从相应的分布函数。因此，可由生成的一组服从$U[0,1]$分布的变量$\theta$，经过$F^{-1}(\theta )$变换后生成服从相应分布的一组变量。

这是对可以写出分布函数并能写出分布函数反函数的一些随机变量，生成对应分布随机数值的一种方法。（1）生成[0,1]之间随机数；（2）写出要求分布的分布函数的反函数；（3）带入反函数求解。

例如指数分布：
$$\xi \sim p(x)=\{\begin{array}{ll}\lambda e^{-\lambda x}& \text{x≥0, }\lambda >0\\ 0& \text{x<0}\end{array}$$
$$F(x)=\{\begin{array}{ll}1-e^{-\lambda x}& \text{x≥0, }\lambda >0\\ 0& \text{x<0}\end{array}$$

生成$\theta \sim U[0,1]$的一组随机数（上图），将该随机数进行变换：$x=-1/2ln(1-\theta )$ ，如果这里参数取$\lambda =2$。生成的新的一组数符合$\lambda =2$的指数分布（下图）。

而对于标准正态分布$N(0,1)$，它的密度函数：
$$p(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{e}^{-\frac{x^2}{2}}$$
由于正态分布的分布函数没有解析式，难以根据分布函数求反函数来获取相应的随机数，这里提出新的方法。

生成两组独立的服从标准正态分布的随机数

背景题目：
设$\xi$、$\eta$独立同分布于$N(0,1)$，即：
$$\begin{gathered} p_{\xi }(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{e}^{-\frac{x^2}{2}} \\ {p}_{\eta }(y)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{e}^{-\frac{y^2}{2}} \end{gathered}$$
两者相互独立，联合密度函数等于边际密度函数乘积：
$$(\xi ,\eta )\sim p(x,y)=\frac{1}{2\pi }{e}^{-\frac{x^2+y^2}{2}}$$
设变量$(\rho ,\varphi )$满足：
$$(\rho ,\varphi )=f(\xi ,\eta ):\{\begin{array}{l}\rho =({\xi }^2+{\eta }^2{)}^{1/2}\\ \varphi =ta{n}^{-1}(\eta /\xi )\end{array}$$
则：
$$(\xi ,\eta )=f^{-1}(\rho ,\varphi )=h(\rho ,\varphi ):\{\begin{array}{l}\eta =\rho cos\varphi \\ \xi =\rho sin\varphi \end{array}$$

雅可比行列式：

$$|J|=\left|\begin{array}{cc}\frac{\partial h_1}{\partial \rho }& \frac{\partial h_1}{\partial \varphi }\\ \frac{\partial h_2}{\partial \rho }& \frac{\partial h_1}{\partial \varphi }\end{array}\right|=\left|\begin{array}{cc}cos\theta & -rsin\theta \\ sin\theta & rcos\theta \end{array}\right|=r$$

可求得$(\rho ,\varphi )$联合密度函数：

$$\begin{gathered} (\rho ,\varphi )\sim q(r,\theta )=p(x,y)|J| \\ =\frac{1}{2\pi }{e}^{-\frac{x^2+y^2}{2}}\ast r \\ =\frac{1}{2\pi }{e}^{-\frac{(rcos\theta {)}^2+(rsin\theta {)}^2}{2}}\ast r \\ =\frac{1}{2\pi }{e}^{-\frac{r^2}{2}}\ast r \\ =r{e}^{-\frac{r^2}{2}}\ast \frac{1}{2\pi } \\ =q_{\rho }(r)\ast q_{\varphi }(\theta ) \end{gathered}$$

恰好是两个相互独立的分布的乘积：瑞利分布和$U[0,2\pi ]$

瑞利分布和均匀分布可以根据 前面均匀分布的特殊地位，首先生成两组0-1均匀分布的变量$u_1$和$u_2$，通过瑞利分布函数、$U[0,2\pi ]$分布函数反函数的变换使得两组数分别满足瑞利分布和$U[0,2\pi ]$分布。再将两组数根据如下变换（二维向量的变换）：

$$\{\begin{array}{l}\xi =\rho cos\varphi \\ \eta =\rho sin\varphi \end{array}$$
得到两组独立的标准正态分布

具体操作如下：

1. 生成两组0-1均匀分布随机数$u_1$和$u_2$
2. 已求得瑞利分布和$U[0,2\pi ]$的密度函数，通过积分求他们的分布函数：
   瑞利分布(r>0)：
   $$F(r)=1-e^{-\frac{r^2}{2}}$$
   $U[0,2\pi ]$ 均匀分布($0\le \theta \le 2\pi$)：

$$G(\theta )=\frac{\theta }{2\pi }$$

3. 分别求他们的反函数：
   瑞利分布：
   $$F^{-1}(u_1)=[-2ln(1-u_1){]}^{1/2}$$
   $U[0,2\pi ]$ 均匀分布：

$$G^{-1}(u_2)=2\pi u_2$$

4. 再代入如下变换：
   $$\{\begin{array}{l}\xi =\rho cos\varphi \\ \eta =\rho sin\varphi \end{array}$$
   得到：
   $$\begin{gathered} \xi =[-2ln(1-u_1){]}^{1/2}cos(2\pi u_2) \\ \eta =[-2ln(1-u_1){]}^{1/2}sin(2\pi u_2) \end{gathered}$$
   则$\xi$和$\varphi$是相互独立的$N(0,1)$随机数。
   也可直接写为：
   $$\begin{gathered} \xi =[-2ln(u_1){]}^{1/2}cos(2\pi u_2) \\ \eta =[-2ln(u_1){]}^{1/2}sin(2\pi u_2) \end{gathered}$$
   $u_1$和$u_2$均是0到1区间内，$(1-u_1)$和$u_1$生成的随机数是一样的

试验如下（matlab）：

u1=rand(1,10000)
u2=rand(1,10000)
y1=sqrt(-2*log(1-u1)).*cos(2*pi*u2)
y2=sqrt(-2*log(1-u1)).*sin(2*pi*u2)