C++ 偏微分数值计算库_SymPy 符号计算基本教程

SymPy 是一个由 Python 语言编写的符号计算库。我将在本文中简要地介绍如何利用 SymPy 进行符号计算。在介绍 SymPy 之前，我们首先要明确何谓符号计算？计算机代数系统又是什么？

什么是符号计算 ？

处理数学对象的计算称为符号计算。在符号计算中，数学对象是精确表示的，而不是近似的，未计算的数学表达式会以符号形式保留。与符号计算相对应的是数值计算，下面将以两个例子来展示二者之间的区别。

数值计算示例

下面是一个计算

数值解的例子：

import math
math.pi
print(math.sin(math.pi))

符号计算示例

下面是一个计算

解析解的例子：

from sympy import *
sin(pi)

对比

的数值和符号计算结果可以发现，数值计算结果无法精确地表示出

，只能用一个很小的浮点数

表示，而符号计算结果则得出

。

明确了数值计算和符号计算之间的区别后，让我们再来认识什么是计算机代数系统。

什么是计算机代数系统 ？

计算机代数系统（Computer Algebra System，缩写作：CAS）是进行符号运算的软件。在计算机代数系统中运算的对象是数学表达式，通常表达式有如下几类：

• 多元多项式
• 标准函数（三角函数、指数函数等）
• 特殊函数（
  函数、Bessel 函数等）
• 多种函数组成的复合函数
• 表达式的导数、积分、和与积等
• 级数
• 矩阵

以下列出了几种典型的符号计算：

• 表达式化简
• 表达式求值
• 表达式的变形：展开、积、幂、部分分式表示、将三角函数转换为指数函数等
• 一元或多元微分
• 带条件的化简
• 部分或完整的因式分解
• 求解线性或非线性方程
• 求解微分方程或差分方程
• 求极限
• 求函数的定积分、不定积分
• 泰勒展开、洛朗展开等
• 无穷级数展开
• 级数求和
• 矩阵运算
• 数学公式的
  或
  显示

通常符号计算软件也具备一定的数值运算能力，例如可以进行如下运算：

• 求函数确切值
• 求高精度值，如
• 线性代数的数值运算

此外符号计算软件也具有描绘二维、三维函数图像的功能。

实际上，目前存在众多的计算机代数系统，下面列出了几种：

• Maple
• MuPAD
• Maxima
• Mathcad
• Mathematica
• MATLAB Symbolic Math Toolbox
• SageMath

为什么选择 SymPy ？

那么，是什么让 SymPy 从这众多软件中脱颖而出，让我们选择它呢？我觉得有如下 4 个原因：

1. SymPy 是自由软件，免费开源，在遵守许可证条款的前提下，用户可以自由地根据自己的需求修改其源代码。与之形成对比的是，Maple、MuPad、Mathcad、MATLAB、Mathematica 等都是商业软件，价格昂贵；
2. SymPy 使用 Python 编写而成，与使用自己发明的语言的计算机代数系统相比（如 Maxima 由 LISP 编写)，SymPy 具有很强的通用性。SymPy 完全用 Python 编写，完全在 Python 中执行。这样，只要您熟悉 Python，那么 SymPy 将会很容易入门；
3. 与另一个使用 Python 的符号计算软件——SageMath 相比，SymPy 的优点是安装包体积小；
4. SymPy 的一个重要特性是，它可以作为库集成到其他软件中，为别的软件所用。SageMath 便是将 SymPy 作为其子模块，然后再加入其他模块，构建出一个功能齐全的数学软件。

准备知识

在学习如何使用 SymPy 进行符号计算之前，请确保您满足如下几个条件：

• 学习过微积分
• 学习过线性代数
• 熟悉 Python 基本语法
• 了解 Python 面向对象编程方法
• 会使用 JupyterLab Notebook 交互式开发环境
• 了解
  是什么东西

如何使用 SymPy ？

前面的第 1 个符号计算示例展示了如何利用 SymPy 精确地计算三角函数，实际上，它的功能远不仅于此。作为一个强大的符号计算库，它几乎能够计算所有带符号变量的表达式。下面从本节开始将介绍如何使用 SymPy。

导入 SymPy 库

在使用 SymPy 之前需要先将其导入，有两种方式：

1. 直接导入：

import sympy

2. 利用 from 语句导入：

from sympy import *

两种方式都导入了 SymPy 库中的所有函数、对象、变量等。区别是调用方式不同。比如在调用 sqrt(

)函数时，前者应写成

sympy.sqrt(2)，后者则直接写成 sqrt(2)。为了力求简洁，我们使用第 2 种方式导入 SymPy 。

注意：为了防止命名空间冲突，PEP 标准推荐使用第一种方式导入库。但是，通常一个符号运算 Python 源文件是单独使用的，稍加注意就可以避免命名空间冲突的问题。

新建符号

在使用符号之前，先要利用 symbols 函数定义符号，语句是：

# 新建符号 x, y
x, y = symbols('x y')

还有一个更简洁的方法是，利用 SymPy 的 abc 子模块导入所有拉丁、希腊字母：

# 利用 SymPy 的 abc 子模块新建符号 x, y
from sympy.abc import x, y

注意：希腊字母

(lambda) 是 Python 保留关键字，当用户需要使用这个字母时，请写成

lamda(不写中间的 'b')。

新建符号变量时可以指定其定义域，比如指定

:

x = symbols('x', positive = True)

这样在求解过程中

必须满足这个前提条件。

可以利用 symbols 函数依次新建类似

的多个变量：

vars = symbols('x_1:5')
vars
(x_1, x_2, x_3, x_4)
vars[0]

下面是一个符号计算的完整例子：

from sympy import *
x, y, z = symbols('x y z')
y = expand((x + 1)**2) # expand() 是展开函数
y

z = Rational(1, 2) # 构造分数 1/2
z

符号计算基本操作

在本节中，我将介绍几个符号计算的基本操作。

替换

采用符号变量的 subs 方法进行替换操作，例如：

x = symbols('x')
expr = cos(x) + 1
expr.subs(x, 0)

将字符串转换为 SymPy 表达式

利用 sympify 函数可以将字符串表达式转换为 SymPy 表达式。

注意： sympify 是符号化，与另一个函数 simplify （化简）拼写相近，不要混淆。

str_expr = 'x**2 + 2*x + 1'
expr = sympify(str_expr)
expr

转换为指定精度的数值解

可以使用符号变量的 evalf 方法将其转换为指定精度的数值解，例如：

pi.evalf(3) # pi 保留 3 位有效数字

利用 lambdify 函数将 SymPy 表达式转换为 NumPy 可使用的函数

如果进行简单的计算，使用 subs 和 evalf 是可行的，但要获得更高的精度，则需要使用更加有效的方法。例如，要保留小数点后 1000 位，则使用 SymPy 的速度会很慢。这时，您就需要使用 NumPy 库。

lambdify 函数的功能就是可以将 SymPy 表达式转换为 NumPy 可以使用的函数，然后用户可以利用 NumPy 计算获得更高的精度。

import numpy
a = numpy.pi / 3
x = symbols('x')
expr = sin(x)
f = lambdify(x, expr, 'numpy')
f(a)
0.8660254037844386
expr.subs(x, pi/3)

使用 simplify (化简)

在符号计算中，最常用的操作就是利用 simplify 函数对表达式化简。默认情况下，simplify 函数将自行寻找它认为的最简单的表达形式，呈现给用户。

simplify(sin(x)**2 + cos(x)**2)

alpha_mu = symbols('alpha_mu')
simplify(2*sin(alpha_mu)*cos(alpha_mu))

由于 simplify 函数执行过程是启发式的，它需要寻找它认为的最简形式，所以有时它的响应会比较慢。所以，当您知道化简形式是什么类型时，不要使用 simplify 函数，而应该使用专门的函数，如 factor（后续将会介绍）。

多项式和有理函数化简

下面介绍几个用于多项式或有理函数化简的函数。

expand (展开)

将多项式展开，使用 expand 函数。例如：

x_1 = symbols('x_1')
expand((x_1 + 1)**2)

factor (因式分解)

用 factor 函数可以对多项式进行因式分解，例如：

factor(x**3 - x**2 + x - 1)

实际上，多项式的展开和因式分解是互逆过程，因此 factor 和 expand 也是相对的。

collect (合并同类项)

利用 collect 合并同类项，例如：

expr = x*y + x - 3 + 2*x**2 - z*x**2 + x**3
collect(expr, x)

cancel (有理分式化简)

消去分子分母的公因式使用 cancel 函数，例如：

cancel((x**2 + 2*x + 1)/(x**2 + x))

apart (部分分式展开)

使用 apart 函数可以将分式展开，例如：

expr = (4*x**3 + 21*x**2 + 10*x + 12)/(x**4 + 5*x**3 + 5*x**2 + 4*x)
expr

apart(expr)

微积分符号计算

在本节中，将介绍使用 SymPy 进行微积分的基本操作。

一元函数求导函数

求导函数使用 diff 函数，例如：

# 求一阶导数
diff(cos(x), x)

# 求 3 阶导数
diff(x**4, x, 3)

我们也可以用 符号变量的 diff 方法 求微分，例如：

expr = cos(x)
expr.diff(x, 2)

多元函数求偏导函数

可以用 diff 函数求多元函数的偏导数，例如：

expr = exp(x*y*z)
diff(expr, x)

integrate (积分)

使用 integrate 函数求积分，例如：

# 求不定积分
integrate(cos(x), x)

求

的定积分：

注意：在 SymPy 中，我们用 'oo' 表示

。

integrate(exp(-x), (x, 0, oo))

求函数

在

的二重积分：

integrate(exp(-x**2 - y**2), (x, -oo, oo), (y, -oo, oo))

limit (求极限)

使用 limit 函数求极限，例如：

limit(sin(x)/x, x, 0)

当

时，求

的极限：

limit(1/x, x, 0, '+')

series (级数展开)

使用符号变量的 series 方法可以对函数

在

处进行

阶展开。例如，对函数

在

处进行

阶展开：

expr = sin(x)
expr.series(x, 0, 4)

解方程

使用 solveset 求解方程。

求解一元二次方程

求解方程

，首先要构造方程，使用

Eq 函数构造等式：

Eq(x**2 - x, 0)

注意：在 SymPy 中，我们用 Eq(左边表达式, 右边表达式) 表示左边表达式与右边表达式相等。

solveset(Eq(x**2 - x, 0), x, domain = S.Reals)

求解微分方程

使用 dsolve 函数求解微分方程。首先需要建立符号函数变量：

f = symbols('f', cls = Function)

然后求解微分方程：

diffeq = Eq(f(x).diff(x, 2) - 2*f(x).diff(x) + f(x), sin(x))
diffeq

dsolve(diffeq, f(x))

矩阵运算

我们在进行矩阵运算之前，需要用 Matrix 构造矩阵，例如：

# 构造矩阵
Matrix([[1, -1], [3, 4], [0, 2]])

# 构造列向量
Matrix([1, 2, 3])

# 构造行向量
Matrix([[1], [2], [3]]).T

矩阵转置用矩阵变量的 T 方法。

# 构造单位矩阵
eye(4)

# 构造零矩阵
zeros(4)

# 构造壹矩阵
ones(4)

# 构造对角矩阵
diag(1, 2, 3, 4)

矩阵转置

矩阵转置用矩阵变量的 T 方法。例如：

a = Matrix([[1, -1], [3, 4], [0, 2]])
a

# 求矩阵 a 的转置
a.T

求矩阵的幂

求矩阵

的

次幂：

# 求矩阵 M 的 2 次幂
M = Matrix([[1, 3], [-2, 3]])
M**2

特殊地，矩阵的

次幂就是矩阵的逆。

# 求矩阵 M 的逆
M**-1

求矩阵的行列式

用矩阵变量的 det 方法可以求其行列式：

M = Matrix([[1, 0, 1], [2, -1, 3], [4, 3, 2]])
M

M.det()

求矩阵的特征值和特征多项式

用矩阵变量的 eigenvals 和 charpoly 方法求其特征值和特征多项式。

M = Matrix([[3, -2,  4, -2], [5,  3, -3, -2], [5, -2,  2, -2], [5, -2, -3,  3]])
M

M.eigenvals()
{3: 1, -2: 1, 5: 2}
lamda = symbols('lamda')
p = M.charpoly(lamda)
factor(p)

Laplace 变换

可以利用 laplace_transform 函数进行 Laplace 变换，例如：

#  Laplace (拉普拉斯)变换
from sympy.abc import t, s
expr = sin(t)
laplace_transform(expr, t, s)

利用 inverse_laplace_transform 函数进行逆 Laplace 变换：

expr = 1/(s - 1)
inverse_laplace_transform(expr, s, t)

利用 SymPy 画函数图像

使用 plot 函数绘制二维函数图像，例如：

from sympy.plotting import plot
from sympy.abc import x
plot(x**2, (x, -2, 2))

导入 SymPy 的 plot_implicit 函数绘制隐函数图像：

from sympy import plot_implicit
from sympy import Eq
from sympy.abc import x, y
plot_implicit(Eq(x**2 + y**2, 1))

注意：上图中

轴不是

，导致图像显示不是圆。

使用 SymPy 画出三维函数图像，例如：

from sympy.plotting import plot3d
from sympy.abc import x, y
from sympy import exp
plot3d(x*exp(-x**2 - y**2), (x, -3, 3), (y, -2, 2))

输出运算结果的

代码

使用 latex 函数可以输出运算结果的

代码，例如：

print(latex(integrate(sqrt(x), x)))

结束语

至此，本文就将 SymPy 符号计算库的基本功能和使用技巧介绍完毕，从前面的内容可以总结出如下 2 点结论：

1. SymPy 基于 Python 编写，使用方法继承了 Python 简洁、直白的特点，非常适合初学者快速入门；
2. SymPy 的 2D、3D 函数绘图能力一般，画二维函数时会出现
   轴比例不对。用户若有精确绘制函数图像的需求，应该求助于更加专业的 Python 绘图库，如 Matplotlib 。