矩阵的Doolittle分解(LU分解)

基本三角分解法

设矩阵$A=(a_{ij}{)}_{n\times n}$的各阶顺序主子式不为零，A有分解式
$$\left[\begin{array}{c}{a}_{11}{a}_{12}\cdots a_{1n}\\ a_{21}{a}_{22}\cdots a_{2n}\\ ⋮⋮⋮\\ a_{n1}{a}_{n2}\cdots a_{nn}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}1\\ l_{21}1\\ ⋮⋮\ddots \\ l_{n1}{l}_{n2}\cdots 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{u}_{11}{u}_{12}\cdots u_{1n}\\ u_{22}\cdots u_{2n}\\ \ddots ⋮\\ u_{nn}\end{array}\right]\equiv LU$$
可得出关系
$$a_{ri}=\sum _{k=1}^r{l}_{rk}{u}_{ki}(i=r,\cdots ,n;r=1,2,\cdots ,n)$$
$$a_{ir}=\sum _{k=1}^r{l}_{ik}{u}_{kr}(i=r+1,\cdots ,n;r=1,\cdots ,n-1)$$
由这两个关系可以解出L和U：
当r=1时，
$$u_{1i}=a_{1i}(i=1,2,\cdots ,n)$$
$$l_{i1}=\frac{a_{i1}}{u_{11}}(i=2,3,\cdots ,n)$$
假设求出了U的第1至r-1行，L的1至r-1列，由上面两式得出U，L的第r行，列的计算公式
$$u_{ri}=a_{ri}-\sum _{k=1}^{r-1}{l}_{ik}{u}_{kr}(i=r,\cdots ,n;r=1,2,\cdots ,n)$$
$$l_{ir}=\frac{a_{ir}-{\sum }_{k=1}^{r-1}{l}_{ik}{u}_{kr}}{u_{rr}}(i=r+1,\cdots ,n;r=1,2,\cdots ,n-1)$$
$$规定\sum _{k=1}^0{l}_{ik}{u}_{kr}=0$$
称上面所表示的矩阵分解为Doolittle分解，也称LU分解

部分选主元的Doolittle分解

在Doolittle的第r步分解，首先在数组A的第r列主对角元以下（含主对角元）选主元，具体步骤为：
（1）$在r=1,2,\cdots ,n-1$时
$$A(i,r)=A(i,r)-\sum _{k=1}^{r-1}A(i,k)\cdot A(k,r)(i=r,\cdots ,n)$$
（2）挑选绝对值最大的主元，得出对应的行号idx，将第r行的元素与第idx行的元素进行交换
（3）分解计算
$$A(i,r)=\frac{A(i,r)}{A(r,r)}(i=r+1,\cdots ,n;r=1,2,\cdots ,n-1)$$
当$r\ne n$时
$$A(r,i)=A(r,i)-\sum _{k=1}^{r-1}A(r,k)\cdot A(k,i)(i=r+1,\cdots ,n;r=1,2,\cdots ,n)$$
$$(\sum _{k=1}^{0}A(r,k)\cdot A(k,i)=0)$$
当$r=n$时
$$A(r,r)=A(r,r)-\sum _{k=1}^{r-1}A(r,k)\cdot A(k,r)$$
按上述方法完成n步分解，便实现了系数矩阵分解$PA=LU$，其中，$P$是排列矩阵
$$P=I_{i_{n-1}n-1}{I}_{i_{n-2}n-2}\cdots I_{i_{1}1}$$
其中，$I_{i_{k}k}$是单位矩阵在第k步分解中交换了第k行和第$i_k$行(主元中最大绝对值的行数)后的矩阵

Matlab 实现一个矩阵的Doolittle分解

function [L, U, P] = Doolittle(A, pri)
%DOOLITTLE 对矩阵A进行doolittle分解
%   inputs:要分解的矩阵A, pri:是否选主元
%   outputs:单位下三角矩阵L和上三角矩阵U，若选主元，同时输出置换矩阵P

P = eye(size(A));

[row, col] = size(A);

if pri
    for r = 1:row
        % 计算中间量Si，存入A(i,r)
        if r ~= row
            A(r:end, r) = A(r:end, r) - A(r:end, 1:r-1) * A(1:r-1, r);
        end
        % 确定绝对值最大的行号
        [m, idx] = max(abs(A(r:end, r)));
        idx = idx + r - 1;
        % 换行，同时更新排列矩阵P
        I = eye(row, col);
        temp = I(r, :);
        I(r, :) = I(idx, :);
        I(idx, :) = temp;
        A = I * A;
        P = I * P;
        % 分解计算
        if r ~= row
            A(r+1:end, r) = A(r+1:end, r) / A(r, r);
        end
        if r ~= 1
            if r ~= row
                A(r, r+1:end) = A(r, r+1:end) - A(r, 1:r-1) * A(1:r-1, r+1:end);
            else
                A(r, r:end) = A(r, r:end) - A(r, 1:r-1) * A(1:r-1, r:end);
            end
        end
    end
    L = tril(A, -1) + eye(size(A));
    U = triu(A, 0);
else
    U = zeros(size(A));
    L = eye(size(A));
    for r = 1:row
        if r == 1
            U(1, :) = A(1, :);
            L(2:end, 1) = A(2:end, 1) ./ U(1, 1);
        else
            U(r, r:end) = A(r, r:end) - L(r, 1:r-1) * U(1:r-1, r:end);
            L(r+1:end, r) = (A(r+1:end, r) - L(r+1:end, 1:r-1) * U(1:r-1, r)) / U(r, r);
        end
    end
end

end