3.3 Dodgson算法

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  • 算法过程
  • Python实现

算法过程

  Dodgson不仅仅是一个数学家,其实他更著名的一个身份是作家,写出了著名的儿童文学作品《爱丽丝梦游仙境》。他发明文学作品时用笔名Lewis Carroll,发表数学论文时用Dodgson,所以很难把这两个名字联系起来。
  闲话不说了,先说说他的算法过程。总体来说,算法过程是一个类似于Chió算法的过程,把矩阵不断缩小,直到缩小到 1 × 1 1\times 1 1×1的矩阵。但是细节与Chió算法有很大不同,Dodgson算法是每次缩小两阶。算法具体是如下过程:

  1. 先通过行倍加,让中心块interior没有0,中心块是一个 ( n − 2 ) × ( n − 2 ) (n-2)\times (n-2) (n2)×(n2)的矩阵,这个中心块是原矩阵的子矩阵就叫做 S S S吧。
  2. 把每相邻四个元素的行列式计算出来,组成一个 ( n − 1 ) × ( n − 1 ) (n-1)\times (n-1) (n1)×(n1)的矩阵,记作矩阵 B B B
  3. 还没完,把矩阵B的每相邻四个元素的行列式计算出来,这样组成一个 ( n − 2 ) × ( n − 2 ) (n-2)\times (n-2) (n2)×(n2)的矩阵,记作矩阵 C C C,把 C C C的每个元素除于A的中心块的对应位置元素,得到矩阵 D D D
  4. 如果D是 1 × 1 1\times 1 1×1的矩阵,那么原矩阵的行列式就等于 D D D的行列式。如果不是,再进行一轮迭代,就计算B的行列式,但是需要跳过第2步的计算,用D作为第2步计算的结果。

  我以一个 5 × 5 5\times 5 5×5例子讲述这个过程:
A = ( − 1 1 − 1 2 2 1 − 1 2 2 3 1 1 2 − 1 − 3 2 − 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ) B = ( 0 1 − 6 2 2 − 4 − 6 − 3 − 3 3 3 2 3 − 2 0 0 ) C = ( − 2 − 30 30 − 6 6 − 3 − 3 6 0 ) D = ( 2 − 15 15 − 6 3 3 3 6 0 ) A= \begin{pmatrix}-1 & 1 & -1 & 2 & 2\\ 1 & -1 & 2 & 2 & 3\\ 1 & 1 & 2 & -1 & -3\\ 2 & -1 & 1 & 1 & 1\\ 1 & 1 & 1 & 1 & 1\\ \end{pmatrix}\\ B= \begin{pmatrix}0 & 1 & -6 & 2\\ 2 & -4 & -6 & -3\\ -3 & 3 & 3 & 2\\ 3 & -2 & 0 & 0\\ \end{pmatrix}\\ C= \begin{pmatrix}-2 & -30 & 30\\ -6 & 6 & -3\\ -3 & 6 & 0\\ \end{pmatrix}\\ D= \begin{pmatrix}2 & -15 & 15\\ -6 & 3 & 3\\ 3 & 6 & 0\\ \end{pmatrix}\\ A= 1112111111122112211123311 B= 0233143266302320 C= 26330663030 D= 26315361530
  得到的结果D不是 1 × 1 1\times 1 1×1的矩阵,那么计算B的行列式,但是把D作为第二步的运算结果:
A = ( 0 1 − 6 2 2 − 4 − 6 − 3 − 3 3 3 2 3 − 2 0 0 ) B = ( 2 − 15 15 − 6 3 3 3 6 0 ) C = ( − 84 − 90 − 45 − 18 ) D = ( 21 15 − 15 − 6 ) A= \begin{pmatrix}0 & 1 & -6 & 2\\ 2 & -4 & -6 & -3\\ -3 & 3 & 3 & 2\\ 3 & -2 & 0 & 0\\ \end{pmatrix}\\ B= \begin{pmatrix}2 & -15 & 15\\ -6 & 3 & 3\\ 3 & 6 & 0\\ \end{pmatrix}\\ C= \begin{pmatrix}-84 & -90\\ -45 & -18\\ \end{pmatrix}\\ D= \begin{pmatrix}21 & 15\\ -15 & -6\\ \end{pmatrix} A= 0233143266302320 B= 26315361530 C=(84459018)D=(2115156)
   D D D是一个 2 × 2 2\times 2 2×2的矩阵还不行,还得缩小,再来:
A = ( 2 − 15 15 − 6 3 3 3 6 0 ) B = ( 21 15 − 15 − 6 ) C = ( 99 ) D = ( 33 ) A= \begin{pmatrix}2 & -15 & 15\\ -6 & 3 & 3\\ 3 & 6 & 0\\ \end{pmatrix}\\ B= \begin{pmatrix}21 & 15\\ -15 & -6\\ \end{pmatrix}\\ C= \begin{pmatrix}99\\ \end{pmatrix}\\ D= \begin{pmatrix}33\\ \end{pmatrix} A= 26315361530 B=(2115156)C=(99)D=(33)
  最终结果出来了,是33.

Python实现

  我只贴相关核心代码,我的代码中没有判断中心块是否含有0,不过这是为了学习算法,而不是用于实际生产项目,所以我就没继续完善:

    def interior(self):
        # Dodgson算法的中心块子矩阵
        n = len(self.__vectors)
        array = [[0 for _ in range(n - 2)] for _ in range(n - 2)]
        # i 代表行 j代表列
        for i in range(0, n - 2):
            for j in range(0, n - 2):
                # 如果column = 0
                array[j][i] = self.__vectors[j + 1][i + 1]
        return Matrix(array)

    def dodgson_condensation(self):
        n = len(self.__vectors)
        array = [[0 for _ in range(n - 1)] for _ in range(n - 1)]
        for i in range(0, n - 1):
            for j in range(0, n - 1):
                # 每个元素是2x2矩阵的行列式
                m = Matrix([[self.__vectors[i][j], self.__vectors[i][j + 1]],
                            [self.__vectors[i + 1][j], self.__vectors[i + 1][j + 1]]])
                array[i][j] = m.determinant2x2()
        return Matrix(array)

    def dodgson(self, b=None):
        n = len(self.__vectors)
        if n == 1:
            return self.__vectors[0][0]
        if n == 2 and b is None:
            return self.determinant2x2()

        s = self.interior()
        if b is None:
            b = self.dodgson_condensation()
        c = b.dodgson_condensation()
        d = c.divide_elements(s)

        if len(d.__vectors) == 1:
            return d.dodgson()
        return b.dodgson(d)

    def determinant2x2(self):
        return self.__vectors[0][0] * self.__vectors[1][1] - self.__vectors[0][1] * self.__vectors[1][0]

    def divide_elements(self, other):
        array = copy.deepcopy(self.__vectors)
        for i, vector in enumerate(array):
            for j, e in enumerate(vector):
                vector[j] = vector[j] / other.__vectors[i][j]
        return Matrix(array)

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