3.3 Dodgson算法

算法过程

  Dodgson不仅仅是一个数学家，其实他更著名的一个身份是作家，写出了著名的儿童文学作品《爱丽丝梦游仙境》。他发明文学作品时用笔名Lewis Carroll，发表数学论文时用Dodgson，所以很难把这两个名字联系起来。
  闲话不说了，先说说他的算法过程。总体来说，算法过程是一个类似于Chió算法的过程，把矩阵不断缩小，直到缩小到$1\times 1$的矩阵。但是细节与Chió算法有很大不同,Dodgson算法是每次缩小两阶。算法具体是如下过程：

1. 先通过行倍加，让中心块interior没有0，中心块是一个$(n-2)\times (n-2)$的矩阵，这个中心块是原矩阵的子矩阵就叫做$S$吧。
2. 把每相邻四个元素的行列式计算出来，组成一个$(n-1)\times (n-1)$的矩阵，记作矩阵$B$。
3. 还没完，把矩阵B的每相邻四个元素的行列式计算出来，这样组成一个$(n-2)\times (n-2)$的矩阵，记作矩阵$C$，把$C$的每个元素除于A的中心块的对应位置元素，得到矩阵$D$。
4. 如果D是$1\times 1$的矩阵，那么原矩阵的行列式就等于$D$的行列式。如果不是，再进行一轮迭代，就计算B的行列式，但是需要跳过第2步的计算，用D作为第2步计算的结果。

  我以一个$5\times 5$例子讲述这个过程：
A = ( − 1 1 − 1 2 2 1 − 1 2 2 3 1 1 2 − 1 − 3 2 − 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ) B = ( 0 1 − 6 2 2 − 4 − 6 − 3 − 3 3 3 2 3 − 2 0 0 ) C = ( − 2 − 30 30 − 6 6 − 3 − 3 6 0 ) D = ( 2 − 15 15 − 6 3 3 3 6 0 ) A= \begin{pmatrix}-1 & 1 & -1 & 2 & 2\\ 1 & -1 & 2 & 2 & 3\\ 1 & 1 & 2 & -1 & -3\\ 2 & -1 & 1 & 1 & 1\\ 1 & 1 & 1 & 1 & 1\\ \end{pmatrix}\\ B= \begin{pmatrix}0 & 1 & -6 & 2\\ 2 & -4 & -6 & -3\\ -3 & 3 & 3 & 2\\ 3 & -2 & 0 & 0\\ \end{pmatrix}\\ C= \begin{pmatrix}-2 & -30 & 30\\ -6 & 6 & -3\\ -3 & 6 & 0\\ \end{pmatrix}\\ D= \begin{pmatrix}2 & -15 & 15\\ -6 & 3 & 3\\ 3 & 6 & 0\\ \end{pmatrix}\\ A= ​−11121​1−11−11​−12211​22−111​23−311​ ​B= ​02−33​1−43−2​−6−630​2−320​ ​C= ​−2−6−3​−3066​30−30​ ​D= ​2−63​−1536​1530​ ​
  得到的结果D不是$1\times 1$的矩阵，那么计算B的行列式，但是把D作为第二步的运算结果：
A = ( 0 1 − 6 2 2 − 4 − 6 − 3 − 3 3 3 2 3 − 2 0 0 ) B = ( 2 − 15 15 − 6 3 3 3 6 0 ) C = ( − 84 − 90 − 45 − 18 ) D = ( 21 15 − 15 − 6 ) A= \begin{pmatrix}0 & 1 & -6 & 2\\ 2 & -4 & -6 & -3\\ -3 & 3 & 3 & 2\\ 3 & -2 & 0 & 0\\ \end{pmatrix}\\ B= \begin{pmatrix}2 & -15 & 15\\ -6 & 3 & 3\\ 3 & 6 & 0\\ \end{pmatrix}\\ C= \begin{pmatrix}-84 & -90\\ -45 & -18\\ \end{pmatrix}\\ D= \begin{pmatrix}21 & 15\\ -15 & -6\\ \end{pmatrix} A= ​02−33​1−43−2​−6−630​2−320​ ​B= ​2−63​−1536​1530​ ​C=(−84−45​−90−18​)D=(21−15​15−6​)
  $D$是一个$2\times 2$的矩阵还不行，还得缩小，再来：
A = ( 2 − 15 15 − 6 3 3 3 6 0 ) B = ( 21 15 − 15 − 6 ) C = ( 99 ) D = ( 33 ) A= \begin{pmatrix}2 & -15 & 15\\ -6 & 3 & 3\\ 3 & 6 & 0\\ \end{pmatrix}\\ B= \begin{pmatrix}21 & 15\\ -15 & -6\\ \end{pmatrix}\\ C= \begin{pmatrix}99\\ \end{pmatrix}\\ D= \begin{pmatrix}33\\ \end{pmatrix} A= ​2−63​−1536​1530​ ​B=(21−15​15−6​)C=(99​)D=(33​)
  最终结果出来了，是33.

Python实现

  我只贴相关核心代码,我的代码中没有判断中心块是否含有0，不过这是为了学习算法，而不是用于实际生产项目，所以我就没继续完善：

    def interior(self):
        # Dodgson算法的中心块子矩阵
        n = len(self.__vectors)
        array = [[0 for _ in range(n - 2)] for _ in range(n - 2)]
        # i 代表行 j代表列
        for i in range(0, n - 2):
            for j in range(0, n - 2):
                # 如果column = 0
                array[j][i] = self.__vectors[j + 1][i + 1]
        return Matrix(array)

    def dodgson_condensation(self):
        n = len(self.__vectors)
        array = [[0 for _ in range(n - 1)] for _ in range(n - 1)]
        for i in range(0, n - 1):
            for j in range(0, n - 1):
                # 每个元素是2x2矩阵的行列式
                m = Matrix([[self.__vectors[i][j], self.__vectors[i][j + 1]],
                            [self.__vectors[i + 1][j], self.__vectors[i + 1][j + 1]]])
                array[i][j] = m.determinant2x2()
        return Matrix(array)

    def dodgson(self, b=None):
        n = len(self.__vectors)
        if n == 1:
            return self.__vectors[0][0]
        if n == 2 and b is None:
            return self.determinant2x2()

        s = self.interior()
        if b is None:
            b = self.dodgson_condensation()
        c = b.dodgson_condensation()
        d = c.divide_elements(s)

        if len(d.__vectors) == 1:
            return d.dodgson()
        return b.dodgson(d)

    def determinant2x2(self):
        return self.__vectors[0][0] * self.__vectors[1][1] - self.__vectors[0][1] * self.__vectors[1][0]

    def divide_elements(self, other):
        array = copy.deepcopy(self.__vectors)
        for i, vector in enumerate(array):
            for j, e in enumerate(vector):
                vector[j] = vector[j] / other.__vectors[i][j]
        return Matrix(array)