代码随想录算法训练营第44天 | 完全背包理论基础 518. 零钱兑换 II 377. 组合总和 Ⅳ

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动态规划篇 - 完全背包

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完全背包和01背包不同之处就在于， 完全背包的内层遍历容积也要正序遍历

完全背包理论基础

有N件物品和一个最多能背重量为W的背包。第i件物品的重量是weight[i]，得到的价值是value[i] 。每件物品都有无限个（也就是可以放入背包多次），求解将哪些物品装入背包里物品价值总和最大。

完全背包和01背包问题唯一不同的地方就是，每种物品有无限件

01背包和完全背包唯一不同就是体现在遍历顺序上

我们知道01背包内嵌的循环是从大到小遍历，为了保证每个物品仅被添加一次。
而完全背包的物品是可以添加多次的，所以要从小到大去遍历

for i in range(0, len(weight)):
	for j in range(weight[i], bagweight):
		dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i])

对于两个循环谁先谁后的问题，在01背包中这个不能反过来，务必请先遍历物品再遍历容积，最底层的原因是因为01背包的状态是从左上角迁移过来的

但是在完全背包中，dp[j]的状态是只取决于它的左边，不取决于左上角，只要保证下标j之前的dp[j]都是经过计算的就可以了。

纯完全背包中，两个for循环的先后循序，都不影响计算dp[j]所需要的值（这个值就是下标j之前所对应的dp[j]）。

但如果题目稍稍有点变化，就会体现在遍历顺序上。如果问装满背包有几种方式的话？ 那么两个for循环的先后顺序就有很大区别了，而leetcode上的题目都是这种稍有变化的类型。

518. 零钱兑换 II

题目链接
啊 这道题我之前也做过，确实也是一道经典的多重背包的题
但本题和纯完全背包不一样，纯完全背包是能否凑成总金额，而本题是要求凑成总金额的个数！

1.状态定义
dp[j]：凑成总金额j的货币组合数为dp[j]

2.状态转移
递推公式：dp[j] += dp[j - coins[i]]
求装满背包有几种方法，一般公式都是这个

3.base case
dp[0] = 1， 因为递推公式dp[coins[0]] += dp[0], 这个式子就明白了为啥要赋1
其它的都赋0就行

4.遍历顺序以及解的所在
这道题是不能把两个循环顺序反过来的，反过来就会把组合问题，变成排列
可以自己打印一下dp数组看一下

因此外层遍历物品，内层遍历容积，并且内层正序
解的所在，就是容积为amount的dp[amount]

def change(self, amount: int, coins: List[int]) -> int:
        dp = [0] * (amount+1)
        dp[0] = 1
        for i in range(0,len(coins)):
            for j in range(coins[i], amount+1):
                dp[j] += dp[j-coins[i]]
        return dp[amount]

377. 组合总和 Ⅳ

题目链接
这个题表面是组合总和，其实是排列，因为顺序不同的序列被视作不同的组合。

其本质是本题求的是排列总和，而且仅仅是求排列总和的个数，并不是把所有的排列都列出来。

如果本题要把排列都列出来的话，只能使用回溯算法搜

因此我们用dp去做这个题

1.状态定义：dp[j] 依然表示，装满j有几种排列方式
2.状态转移：求组合问题还是 dp[j] += dp[j-nums[i]]
3.base case : dp[0] = 1 其余赋0
4.遍历顺序与解的所在： 518.零钱兑换2说， 如果把容积先遍历，物品后遍历的话，会把每一种排列都算一次 正好这是我们这道题想要的 切记完全背包要容积正序遍历
解的所在就在dp[target]

def combinationSum4(self, nums: List[int], target: int) -> int:
        dp = [0] * (target+1)
        dp[0] = 1
        for j in range(1, target+1):
            for i in range(0,len(nums)):
                if j >= nums[i]: dp[j] += dp[j-nums[i]]
        return dp[target]