代码随想录算法训练营day44｜完全背包，518. 零钱兑换II，377. 组合总和 Ⅳ

完全背包

完全背包理论基础

1. 有N件物品和一个最多能背重量为W的背包。第i件物品的重量是weight[i]，价值是value[i] 。每件物品都有无限个（即可以放入背包多次），求解将哪些物品装入背包里物品价值总和最大。

2. 「完全背包」与「01背包」唯一的不同：遍历顺序。01背包的内循环从大到小遍历，为了保证每个物品仅被添加一次；完全背包的物品可以添加多次，因此从小到大遍历；01背包中，二维dp数组的两个for遍历的先后循序可以颠倒，一维dp数组的两个for循环先后循序一定是先物品，再背包容量。完全背包中，一维dp数组的两个for循环嵌套顺序可以颠倒。

//先遍历物品，再遍历背包容量
public static void testCompletePack(){
    int[] weight = {1,3,4};
    int[] value = {15,20,30};
    int bagSize = 4;
    int[] dp = new int[bagSize+1];
    for (int i = 0; i < weight.length; i++) {
        for (int j = weight[i]; j <= bagSize; j++) {
            dp[j] = Math.max(dp[j],dp[j-weight[i]]+value[i]);
        }
    }
    for(int maxValue:dp){
        System.out.print(maxValue+" ");
    }
}

public static void testCompletePack() {
    int[] weight = {1, 3, 4};
    int[] value = {15, 20, 30};
    int bagSize = 4;
    int[] dp = new int[bagSize + 1];
    for (int i = 1; i <= bagSize; i++) {
        for (int j = 0; j < weight.length; j++) {
            if(i-weight[j]>0){
                dp[i] = Math.max(dp[i], dp[i - weight[j]] + value[j]);
            }
        }
    }
    for (int maxValue : dp) {
        System.out.print(maxValue + " ");
    }
}

518. 零钱兑换II

力扣

思路：

1. 本题区别于纯完全背包问题之处：纯完全背包求凑成背包最大价值，本题求凑成总金额的物品组合个数。

2. dp数组以及下标的含义：dp[j]表示凑成总金额为j的货币组合个数为dp[j]。

3. 递推公式：dp[j]就是所有的dp[j-coins[i]]相加。因此，dp[j] += dp[j-coins[i]]。

4. 初始化：dp[0] = 1（递推公式的基础），其他下标的dp初始化为0。

5. 遍历顺序：外层for循环遍历物品（钱币），内层for遍历背包（金钱总额），得到的dp[j]为组合数；假如先外层for循环遍历背包（金钱总额），内层for循环遍历物品（钱币），得到的dp[j]就是排列数；因此，外层遍历物品（钱币），内层遍历背包（金钱总额）。

class Solution {
    public int change(int amount, int[] coins) {
        int[] dp = new int[amount+1];
        dp[0]=1;
        for(int i=0;i

377. 组合总和 Ⅳ

力扣

思路：

1. 本题求凑成target的排列个数。类似上一题，区别在于上一题求组合个数，本题求排列个数；

2. dp数组及其下标含义：dp[i]表示凑成目标正整数为i的排列个数为dp[i]；

3. 递推公式：dp[i] += dp[i-nums[j]]；

4. 初始化：dp[0] = 1（递推公式的基础），其他下标的dp初始化为0；

5. 遍历顺序：外层for循环遍历背包（目标正整数），内层for循环遍历物品（数字）。

class Solution {
    public int combinationSum4(int[] nums, int target) {
        int[] dp = new int[target+1];
        dp[0] = 1;
        for(int i=0;i<=target;i++){
            for(int j=0;j=nums[j]){
                    dp[i] += dp[i-nums[j]];
                }
            }
        }
        return dp[target];
    }
}

总结

求装满背包有几种方法，递归公式类似（+=），关键在于遍历顺序。如果求的是组合个数，外层for循环遍历物品，内层for循环遍历背包容量；如果求的是排列个数，外层for循环遍历背包容量，内层for循环遍历物品。