【课后习题】高等数学第七版下第九章 多元函数微分法及其应用 第七节 方向导数与梯度

习题9-7

1. 求函数 $z=x^2+y^2$ 在点 $(1,2)$ 处沿从点 $(1,2)$ 到点 $(2,2+\sqrt{3})$ 的方向的方向导数.

2. 求函数 $z=\ln (x+y)$ 在抛物线 $y^2=4x$ 上点 $(1,2)$ 处, 沿着这抛物线在该点处偏向 $x$ 轴 正向的切线方向的方向导数.

3. 求函数 $z=1-\left(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}\right)$ 在点 $\left(\frac{a}{\sqrt{2}},\frac{b}{\sqrt{2}}\right)$ 处沿曲线 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ 在这点的内法线方向的方向导数.

4. 求函数 $u=x{y}^2+z^3-xyz$ 在点 $(1,1,2)$ 处沿方向角为 $\alpha =\frac{\pi }{3},\beta =\frac{\pi }{4},\gamma =\frac{\pi }{3}$ 的方向的方 向导数.

5. 求函数 $u=xyz$ 在点 $(5,1,2)$ 处沿从点 $(5,1,2)$ 到点 $(9,4,14)$ 的方向的方向导数.

6. 求函数 $u=x^2+y^2+z^2$ 在曲线 $x=t,y=t^2,z=t^3$ 上点 $(1,1,1)$ 处, 沿曲线在该点的切线正方向 (对应于 $t$ 增大的方向) 的方向导数.

7. 求函数 $u=x+y+z$ 在球面 $x^2+y^2+z^2=1$ 上点 $\left(x_0,y_0,z_0\right)$ 处, 沿球面在该点的外法线方向的方向导数.

8. 设 $f(x,y,z)=x^2+2y^2+3z^2+xy+3x-2y-6z$, 求 $\mathrm{grad}f(0,0,0)$ 及 $\mathrm{grad}f(1,1,1)$.

9. 设函数 $u(x,y,z),v(x,y,z)$ 的各个偏导数都存在且连续, 证明:

(1) $\nabla (cu)=c\nabla u$ (其中 $c$ 为常数);

(2) $\nabla (u\pm v)=\nabla u\pm \nabla v$;

(3) $\nabla (uv)=v\nabla u+u\nabla v$;

(4) $\nabla \left(\frac{u}{v}\right)=\frac{v\nabla u-u\nabla v}{v^2}$.

10. 求函数 $u=x{y}^{2}z$ 在点 $P_0(1,-1,2)$ 处变化最快的方向, 并求沿这个方向的方向导数.