时间和空间复杂度计算

目录

本章目标

理解时间空间复杂度

计算时间复杂度

计算空间复杂度

计算练习

        1.1常见时间复杂度计算举例

例1

例2

例3

例4

例5

1.2常见空间复杂度的计算

例1

例2

例3

---

本章目标

1.什么是时间复杂度和空间复杂度。

2.为什么要有时间复杂度和空间复杂度.

3.如何计算时间和空间复杂度。

4.常见复杂度计算练习

理解时间空间复杂度

时间复杂度：衡量算法运行速度的指标。

空间复杂度：衡量程序运行临时占用存储空间大小的指标。

为什么要有时间复杂度和空间复杂度？

时间复杂度和空间复杂度能给帮助我们衡量一个算法的优劣，在不同环境中我们对时间效率和空间效率要求不同，因此有了时间复杂度和空间复杂度能够指引程序员设计符合程序环境的代码。

计算时间复杂度

时间复杂度的计算并不要求我们计算准确的算法运行的时间，由于运行时间和执行次数成正比，我们用算法的执行次数当做时间复杂度计算。

另外有些算法的时间复杂度存在最好、平均和最坏情况，我们取最坏情况作为时间复杂度。

注：最坏情况代表的是改算法最多执行的次数，通常带有条件判断语句。

解释原因：平均情况=（最坏情况+最好情况）/2 =最坏情况/2+最好情况/2

根据大O的渐进表示法平均情况等于最坏情况。（类似于取极限）

计算空间复杂度

空间复杂度的计算算的是申请变量的个数。

计算练习

1.1常见时间复杂度计算举例

例1

void Func2(int N)
{
    int count = 0;
    for (int k = 0; k < 2 * N ; ++ k)
    {
        ++count;
    }
        int M = 10;
    while (M--)
    {
        ++count;
    }
    printf("%d\n", count);
}

例2

void Func3(int N, int M)
{
    int count = 0;
    for (int k = 0; k < M; ++ k)
    {
        ++count;
    }
    for (int k = 0; k < N ; ++ k)
    {
        ++count;
    }
    printf("%d\n", count);
}

例3

// 计算BinarySearch的时间复杂度？
int BinarySearch(int* a, int n, int x)
{
    assert(a);
    int begin = 0;
    int end = n;
    while (begin < end)
    {
        int mid = begin + ((end-begin)>>1);
        if (a[mid] < x)
            begin = mid+1;
        else if (a[mid] > x)
            end = mid;
        else
            return mid;
    }
    return -1;
}

例4

// 计算阶乘递归Factorial的时间复杂度？
long long Factorial(size_t N)
{
    return N < 2 ? N : Factorial(N-1)*N;
}

例5

// 计算BubbleSort的时间复杂度？
void BubbleSort(int* a, int n)
{
    assert(a);
    for (size_t end = n; end > 0; --end)
    {
        int exchange = 0;
        for (size_t i = 1; i < end; ++i)
            {
                if (a[i-1] > a[i])
                {
                    Swap(&a[i-1], &a[i]);
                    exchange = 1;
                }
            }
                if (exchange == 0)
                    break;
    }
}

实例答案及分析

1. 实例1基本操作执行了2N+10次，通过推导大O阶方法知道，时间复杂度为 O(N)

2. 实例2基本操作执行了M+N次，有两个未知数M和N，时间复杂度为 O(N+M)
3. 实例3基本操作执行最好1次，最坏O(logN)次，时间复杂度为 O(logN) ps：logN在算法分析
中表示是底数为2，对数为N。有些地方会写成lgN。

4.实例4通过计算分析发现基本操作递归了N次，时间复杂度为O(N)。

5.实例5基本操作执行最好N次，最坏执行了(N*(N+1)/2次，通过推导大O阶方法+时间复杂度
一般看最坏，时间复杂度为 O(N^2)

1.2常见空间复杂度的计算
例1

// 计算BubbleSort的空间复杂度？
void BubbleSort(int* a, int n)
{
    assert(a);
    for (size_t end = n; end > 0; --end)
    {
        int exchange = 0;
        for (size_t i = 1; i < end; ++i)
        {
            if (a[i-1] > a[i])
            {
                Swap(&a[i-1], &a[i]);
                exchange = 1;
            }
        }
        if (exchange == 0)
            break;
    }
}

例2

// 计算Fibonacci的空间复杂度？
long long* Fibonacci(size_t n)
{
    if(n==0)
    return NULL;
    long long * fibArray = (long long *)malloc((n+1) * sizeof(long long));
    fibArray[0] = 0;
    fibArray[1] = 1;
    for (int i = 2; i <= n ; ++i)
    {
        fibArray[i ] = fibArray[ i - 1] + fibArray [i - 2];
    }
    return fibArray ;
}

例3

// 计算阶乘递归Factorial的空间复杂度？
long long Factorial(size_t N)
{
    return N < 2 ? N : Factorial(N-1)*N;
}

实例答案及分析：
1. 实例1使用了常数个额外空间，所以空间复杂度为 O(1)
2. 实例2动态开辟了N个空间，空间复杂度为 O(N)
3. 实例3递归调用了N次，开辟了N个栈帧，每个栈帧使用了常数个空间。空间复杂度为O(N)