我们知道, 每个物理量都有自己所属的量纲, 在通常情况下, 人们选定几个基本的物理量的量纲作为基础, 那么其他的物理量的量纲都有这些基本的物理量的量纲所导出.
常用的基本物理量有如下七个:
- 长度、
- 质量、
- 时间、
- 电流、
- 热力学温度da
- 物质的量、
- 发光强度
通常人们对这些物理量会进行描述, 为了有一个公共的语言, 从而避免像通天塔故事里面一样大家语言不通, 人们商量了一下, 选定了一些国际标准单位.于是我们就见到了下表.
| 基本物理量名称 | 量纲 | 国际标准单位名称 | 中文单位名称 |
|---|---|---|---|
| 长度 | L | m(meter) | 米 |
| 质量 | M | kg(kilogram) | 千克 |
| 时间 | T | s(second) | 秒 |
| 电流 | I | A(ampere) | 安 |
| 热力学温度 | K | K(Kelvin) | 开 |
| 物质的量 | N | mol (mole) | 摩 |
| 发光强度 | J | cd(candela) | 坎 |
基本物理量的量纲及SI 单位
别下看这一个分析, 如果我们承认一些基本的事实,
定理: 两个物理量可以相加当且仅当其具有相同的量纲.
定理: 任何物理量的量纲式都是基本量纲的幂次的单项式的形式.
于是我们就可以考虑基本量纲来描述物理量的本领了.
定义: 设 是一组给定的物理量, 如果存在一组不全为零的实数 , 使得
是无量纲的, 则我们称 是量纲相关的, 否则就称 是量纲无关的.
一个量是无量纲的,当且仅当其是一个常数, 因此可以想象, 量纲相关与线性空间的元素线性相关本质是一回事.
定义: 设 是一组给定的物理量, 如果存在 , 使得
是无量纲的, 则我们称物理量 可被物理量 量纲表出.
注意到上面方程在本质上就是
这也就是为什么称物理量 可被物理量 量纲表出的原因.
当然, 这一切都还没有真正的神奇, 神奇的是美国物理学家 Edgar Buckingham (July 8, 1867 – April 29, 1940 ) 于1914 年发表了一个关于量纲分析的如下定理, 由于 Edgar Buckingham 的论文中的无量纲量用希腊大写字母 表示, 因此在1922 年美国学者 P.W.Bridgman 将其命名为 Buckingham 定理.
定理 (Buckingham 定理): 设某个物理现象中的物理量 的关系由如下方程
所刻画, 不妨设 是 中一组极大量纲无关租, 则其余的物理量 的关系式可以化成只联系 个无量纲量 的方程
其中
是无量纲量.
下面我们来看这个定理的精彩的妙用.
例 1. 估计一人通常的走路速度.
事实上, 一个人通常的走路速度与很多因素有关, 这种问题丢给数学家, 在严肃的数学家眼里, 他不算个三天三夜才怪, 当然, 他也可能会给出一个看起来让人害怕的模型. 不过在物理学家眼里, 呵呵, 你不用想那么复杂, 想想走路跟什么有关, 当然跟腿长有关, 于是在物理学家眼里有了一个物理量, 腿长, 还很什么东西有关呢, 仔细思考你会发现, 跟重力场有关, 没有重力你当然在地上是无法行走的, 当然, 细致的人当然会说还跟空气阻力有关, 还跟地面的情况有关, 等等,不过物理学家才不管你所考虑的那些, 现在他得到了三个物理量, 速度 , 腿长 , 还有重力加速度 .
各自分析其量纲如下
于是物理学家开心极了, 连小学生都能看到的关系是
于是物理学家就下断言了,
其中 是某个实数. 你还真别不服气, 下面物理学家就开始计算了, 取 , 一个人的腿长通常是 1 米左右, 于是 , 通常取 , 还小数, 太麻烦,干脆取 , 于是
你还别说, 在基本上就是一个普通人的正常走路速度, 关键的是物理学家这一通操作猛如虎, 居然还告诉我们, 如果重力加速度小的话, 走路的速度是要减小的, 事实, 在月球上的行走还真是如此. 因此不能不叹服, 这真是物理学家的骚操作.
也许有人会说, 这种数学模型其实是半定量的, 要想完全定量还是有困难, 其实不然, 在得到一个半定量模型之后, 结合进一的分析,是有可能得到一些精确得定理模型.
下面我们来这方面用法的一个精彩运用.
例 2 : 证明勾股定理.
我们知道, 关于勾股定理的证法大约已经超过 360 种以上了, 然而使用物理学家这种分析,的确是别开生面.
下面我们来考虑一个直角三角形 .
比如角 是直角, 我们知道, 对于一个直角三角形, 其可以完全由斜边和与斜边上的一个角完全确定, 因此三角形的面积为斜边与斜边上的一个角的函数, 不妨设对直角三角形 分析, 记 的面积为 , 其函数为, 也就有
现在我们来考虑其量纲, 于是有
注意到 是无量纲的量, 因此
其 是 的函数, 并且 . 当然我们类似可以分析直角三角形 和 直角三角形 ,自然有
注意到
也就是 , 两边除以 也就得到
我还能说什么呢, 收下我的膝盖吧.