【C++】红黑树
作者：@阿亮joy.
专栏：《吃透西嘎嘎》
座右铭：每个优秀的人都有一段沉默的时光，那段时光是付出了很多努力却得不到结果的日子，我们把它叫做扎根
目录
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- 红黑树
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- 红黑树的概念
- 红黑树的性质
- 红黑树节点的定义
- 红黑树的插入操作
- 红黑树的验证
- 红黑树的删除
- 红黑树与AVL树的比较
- 总结
红黑树
红黑树的概念
红黑树，是一种二叉搜索树，但在每个结点上增加一个存储位表示结点的颜色，可以是 Red 或 Black。 通过对任何一条从根到叶子的路径上各个结点着色方式的限制，红黑树确保没有一条路径会比其他路径长出俩倍，因而是接近平衡的。
红黑树与 AVL 树的简单对比
红黑树的性质
- 每个结点不是红色就是黑色
- 根节点是黑色的
- 如果一个节点是红色的，则它的两个孩子结点是黑色的，即红黑树中没有连续的红色节点
- 对于每个结点，从该结点到其所有后代叶结点的简单路径上，均包含相同数目的黑色结点，即每条路径上的黑色节点数量相等（注：路径是从根节点到空节点）
- 每个叶子结点都是黑色的（此处的叶子结点指的是空结点，NIL 表示空节点）
满足以上性质，红黑树就能够保证最长路径中节点个数不会超过最短路径节点个数的两倍。最短的路径是全由黑色节点组成的，最长路径是由一黑一红节点组成的（注：不一定每颗红黑树都存在这样的最短路径和最长路径），此时的最长路径刚好是最短路径的两倍。因此，别的最长路径更加不会超过最多路径的两倍了。
红黑树节点的定义
// 用枚举常量来代表颜色
enum Colour
{
RED,
BLACK
};
template<class K, class V>
struct RBTreeNode
{
RBTreeNode<K, V>* _parent;
RBTreeNode<K, V>* _left;
RBTreeNode<K, V>* _right;
pair<K, V> _kv;
Colour _col;
RBTreeNode(const pair<K, V>& kv)
:_left(nullptr)
, _right(nullptr)
, _parent(nullptr)
, _kv(kv)
{}
};
总体来看，红黑树节点的定义是和 AVL 树节点的定义是差不多的，红黑树没有平衡因子，而有了节点的颜色。节点的颜色有很多种方式来表示，在这里我采用了枚举常量的形式。
红黑树的插入操作
红黑树是在二叉搜索树的基础上加上其平衡限制条件，因此红黑树的插入可分为两步：1. 按照二叉搜索的树规则插入新节点。2.检测新节点插入后，红黑树的性质是否造到破坏。插入节点时，我们需要考虑新插入节点的颜色。如果新插入节点的颜色是红色，可能会违反规则三；而如果新插入节点的颜色是黑色，一定会违反规则四，将会影响整棵树，需要对整棵树进行调整。所以，我们默认新插入节点的颜色是红色，如果违反了规则三，可以通过变色加旋转的方式来进行调整。
如果其双亲节点的颜色是黑色，没有违反红黑树任何性质，则不需要调整；但当新插入节点的双亲节点颜色为红色时，就违反了性质三不能有连在一起的红色节点，此时需要对红黑树分情况来讨论：
约定：cur 为当前节点，parent 为父节点 p，grandfather 为祖父节点 g，uncle 为叔叔节点 u。
注：以下所看到的树，可能是一颗完整的数，也可能是一颗子树。
情况一：cur 为红，p 为红，g 为黑，u 存在且为红
情况二：cur 为红，p 为红，g 为黑，u 不存在或 u 存在且为黑
注：情况二是情况一转变而来的。
情况三: cur为红，p为红，g为黑，u不存在/u存在且为黑
注：情况三是情况一和情况转换而来的。除了上面提及的左单旋和左右双旋，还有右单旋和右左双旋。
总结：红黑树的关键是叔叔 u。u 存在且为红，变色继续往上处理；u 不存在或 u 存在且为黑，需要进行旋转加变色。
public:
bool Insert(const pair<K, V>& kv)
{
// 根节点的颜色为黑色
if (_root == nullptr)
{
_root = new Node(kv);
_root->_col = BLACK;
return true;
}
Node* parent = nullptr;
Node* cur = _root;
while (cur)
{
// 以搜索二叉树的方式插入
if (cur->_kv.first < kv.first)
{
parent = cur;
cur = cur->_right;
}
else if (cur->_kv.first > kv.first)
{
parent = cur;
cur = cur->_left;
}
else
{
return false;
}
}
// 插入节点
cur = new Node(kv);
cur->_col = RED; // 新插入节点默认为红色
// 判断在哪一边插入
if (parent->_kv.first < kv.first)
{
parent->_right = cur;
}
else
{
parent->_left = cur;
}
cur->_parent = parent;
// 当parent存在且为红色,则需要继续往上处理
// 当parent为空或为黑色时,则不需要往上处理
while (parent && parent->_col == RED)
{
Node* grandfather = parent->_parent;
assert(grandfather);
assert(grandfather->_col == BLACK);
// 关键看叔叔
if (parent == grandfather->_left)
{
Node* uncle = grandfather->_right;
// 情况一：uncle存在且为红
if (uncle && uncle->_col == RED)
{
parent->_col = uncle->_col = BLACK;
grandfather->_col = RED;
// 继续往上处理
cur = grandfather;
parent = cur->_parent;
}
else //情况二和三：uncle不存在或uncle存在且为黑
{
// 情况二：右单旋+变色
// g p
// p u ==> c g
// c u
if (cur == parent->_left)
{
RotateR(grandfather);
parent->_col = BLACK;
grandfather->_col = RED;
}
else
{
// 情况三：parent先做左单旋,grandfather再做右单旋,最后变色
// g g c
// p u ==> c u ==> p g
// c p u
RotateL(parent);
RotateR(grandfather);
cur->_col = BLACK;
grandfather->_col = RED;
}
break;
}
}
else
{
Node* uncle = grandfather->_left;
// 情况一：uncle存在且为红
if (uncle && uncle->_col == RED)
{
parent->_col = uncle->_col = BLACK;
grandfather->_col = RED;
// 继续往上处理
cur = grandfather;
parent = cur->_parent;
}
else //情况二和三：uncle不存在或uncle存在且为黑
{
// 情况二：左单旋+变色
// g p
// u p ==> g c
// c u
if (cur == parent->_right)
{
RotateL(grandfather);
parent->_col = BLACK;
grandfather->_col = RED;
}
else
{
// 情况三：parent先做右单旋,grandfather再做左单旋,最后变色
// g g c
// u p ==> u c ==> g p
// c p u
RotateR(parent);
RotateL(grandfather);
cur->_col = BLACK;
grandfather->_col = RED;
}
break;
}
}
}
// 根节点永远是黑色
_root->_col = BLACK;
return true;
}
private:
// 左单旋
void RotateL(Node* parent)
{
Node* subR = parent->_right;
Node* subRL = subR->_left;
parent->_right = subRL;
if (subRL)
subRL->_parent = parent;
Node* ppNode = parent->_parent;
subR->_left = parent;
parent->_parent = subR;
if (_root == parent)
{
_root = subR;
subR->_parent = nullptr;
}
else
{
if (ppNode->_left == parent)
{
ppNode->_left = subR;
}
else
{
ppNode->_right = subR;
}
subR->_parent = ppNode;
}
}
// 右单旋
void RotateR(Node* parent)
{
Node* subL = parent->_left;
Node* subLR = subL->_right;
parent->_left = subLR;
if (subLR)
{
subLR->_parent = parent;
}
Node* ppNode = parent->_parent;
subL->_right = parent;
parent->_parent = subL;
if (_root == parent)
{
_root = subL;
subL->_parent = nullptr;
}
else
{
if (ppNode->_left == parent)
{
ppNode->_left = subL;
}
else
{
ppNode->_right = subL;
}
subL->_parent = ppNode;
}
}
现在红黑树插入操作的代码就先完了，接下来我们就来验证一下写得正不正确。
红黑树的验证
红黑树的验证分为两步：1. 检测其是否满足二叉搜索树(中序遍历是否为有序序列)。2. 检测其是否满足红黑树的性质（每条路径的黑色节点数量是否相等）。
public:
bool IsBalance()
{
if (_root == nullptr)
return true;
if (_root->_col != BLACK)
{
cout << "根节点不是黑色" << endl;
return false;
}
// 黑色节点数量的基准值：以最左或最右路径上的黑色节点的数量作为基准值
int mark = 0;
Node* cur = _root;
while (cur)
{
if (cur->_col == BLACK)
++mark;
cur = cur->_left;
}
return PrevCheck(_root, 0, mark);
}
private:
void _InOrder(Node* root)
{
if (root == nullptr)
{
return;
}
_InOrder(root->_left);
cout << root->_kv.first << ":" << root->_kv.second << endl;
_InOrder(root->_right);
}
bool PrevCheck(Node* root, int blackNum, int mark)
{
if (root == nullptr)
{
if (blackNum != mark)
{
cout << "某条路径上的黑色节点的数量不相等" << endl;
return false;
}
else
return true;
}
if (root->_col == BLACK)
++blackNum;
// 检查父亲
if (root->_col == RED && root->_parent->_col == RED)
{
cout << "存在连续的红色节点" << endl;
}
return PrevCheck(root->_left, blackNum, benchmark)
&& PrevCheck(root->_right, blackNum, benchmark);
}
测试样例
void RBTreeTest1()
{
int a[] = { 4, 2, 6, 1, 3, 5, 15, 7, 16, 14, 0,5,30,25,20,4,13,30,28,27 };
//int a[] = { 16, 3, 7, 11, 9, 26, 18, 14, 15 };
RBTree<int, int> t1;
for (auto e : a)
{
t1.Insert(make_pair(e, e));
}
t1.InOrder();
cout << "IsBalance:" << t1.IsBalance() << endl;
}
void RBTreeTest2()
{
size_t N = 1000;
srand(time(0));
RBTree<int, int> t1;
for (size_t i = 0; i < N; ++i)
{
int x = rand();
cout << "Insert:" << x << ":" << i << endl;
t1.Insert(make_pair(x, i));
}
cout << "IsBalance:" << t1.IsBalance() << endl;
}
红黑树的删除
红黑树的删除不做讲解，有兴趣的大佬可参考：《算法导论》或者《STL源码剖析》。
红黑树与AVL树的比较
红黑树和 AVL 树都是高效的平衡二叉树，增删改查的时间复杂度都是 O( l o g 2 N log_2 N log2N)，红黑树不追求绝对平衡，其只需保证最长路径不超过最短路径的 2 倍。相对而言，红黑树降低了插入和删除时旋转的次数，所以在经常进行增删的结构中性能比 AVL 树更优，而且红黑树实现比较简单，所以实际运用中红黑树更多。
总结
本篇博客主要讲解了什么是红黑树、红黑树的性质、红黑树的插入操作以及验证等等。那么以上就是本篇博客的全部内容了，如果大家觉得有收获的话，可以点个三连支持一下！谢谢大家！❣️