拉普拉斯变换与z变换

LTI系统对复指数信号对响应

傅里叶分析的重要价值在于：
1）相当广泛的信号都能用复指数信号的线性组合来表示；
2）LTI系统对复指数的响应同样是一个复指数。
傅里叶级数与傅里叶变换可以说明第一点，现证明第2点：
对任一输入连续信号，LTI系统的输出为：


同样可证，对于任一输入离散信号

回顾傅里叶变换

连续时间傅里叶变换

离散时间傅里叶变换

拉普拉斯变换

连续时间傅里叶变换提供了将信号表示为形如的线性组合，然而LTI系统对复指数信号的响应不局限于纯虚数的情况，这就导致了连续时间傅里叶变换的推广，称为拉普拉斯变换。
回顾
当，即傅里叶变换；
当s为一般复变量时，，即拉普拉斯变换。

• 例:求信号的拉普拉斯变换
  前面已知，该信号的傅里叶变换为
  其拉普拉斯变换为：
  在求拉普拉斯变换时，需要给出变换的代数表示式以及ROC（收敛域）。
  

z变换

上述讨论了连续时间傅里叶变换的推广称为拉普拉斯变换，而离散时间傅里叶变换的推广称为z变换。