大一从零开始的算法001---树和二叉树01

树和二叉树

         目录

一、名词解释

    1.树的度

  二、树的表示法

    1.双亲表示法

    2.孩子表示法

    3.双亲孩子表示法

    4.孩子兄弟表示法

  三、二叉树

    斜树

    满二叉树

    完全二叉树

    二叉树的存储结构

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一、名词解释

    1.树的度

        任意子树拥有的子树节点的个数的最大值。

  二、树的表示法

    1.双亲表示法

        以数组储存形式为例：时间复杂度=O(1)

        结构体内包括{1.内容；2.双亲(Parent)指针}

图源小甲鱼 图源小甲鱼

        两种拓展形式，只需增加结构体之中的内容。插入兄弟(Sib)指针或子(Child)指针。

        注意： 1.根(root)的双亲指针为 -1。

                    2.兄弟指针特指在同一子树内部的右边的兄弟指针。

    2.孩子表示法

                1.根据树的度，声明足够空间存放子树的节点(大量浪费空间)。

                2.根据子树的数量，声明空间存放子树的节点(大量浪费时间)。

                3.类链表形式表述：

图源小甲鱼

    3.双亲孩子表示法

        结构体内既包含双亲(Parent)指针，又包含孩子(Child)指针。

图源小甲鱼

#define MAX 100

struct Data
{
    int data;
};

//孩子节点(上图中的右侧孩子)
typedef struct CTNode
{
    int child;                  //孩子节点的下表
    struct CTnode* next;        //指向下一个孩子节点的指针
}*ChildPtr;

//表头结构(上图中的左侧每一行)
typedef struct
{
    struct Data data;           //数据
    int parent;                 //存放双亲的下标
    ChildPtr firstchild;        //指向第一个孩子的指针
}CTBox;

//树结构(上图中的左侧整个矩阵)
typedef struct
{
    CTBox nodes[MAX];           //节点数组
    int r,n;
};

    4.孩子兄弟表示法

  三、二叉树

        性质：1.在二叉树的第i层上至多有个节点。

                   2.深度为k的二叉树至多有个节点。

                   3.对于任何一个二叉树T，如果其叶节点数为，度为二的节点数为，

                      则

        注意：1.每个节点最多两个子树。

                   2.左子树和右子树有顺序不能颠倒。

                   3.某个节点只有一个子树也要区分它是左子树还是右子树。

二叉树的五种形态     图源小甲鱼

    斜树

        如上图中的左2、左3。

    满二叉树

        所有分支节点都既有左子树，又有右子树，并且所有叶子都在同一行上(最下一层)。

图源小甲鱼

    完全二叉树

         性质： 1.具有个节点的完全二叉树的深度为为向下取整

                     2.对于1中的完全二叉树，把节点按照层序编号(第一层为1、第二层为2 ......)

                          2-1.如果，则节点是二叉树的根，无双亲；

                                如果，则其双亲是

                          2-2.如果，则节点无左孩子(节点为叶子节点)

                                如果，则其左孩子是节点

                          2-3.如果，则节点无右孩子

                                如果，则其右孩子是节点

        1.叶子节点只能出现在最下层。

        2.最下层的叶子只能集中出现在左部连续位置。

        3.倒数第二层，若有叶子节点，一定出现在右部连续位置(同2)。

        4.如果节点度为1，则该节点只有左孩子。

        5.同样节点数的二叉树，完全二叉树的深度最小。

图源小甲鱼

                注意：满二叉树一定是完全二叉树，反之不一定。

    二叉树的存储结构

                顺序存储结构：运用完全二叉树的思想(实际操作中我们所用的树不是二叉树)，将不存在的节点用空指针(^)表示。(若是斜树，则冗余多)

                链式存储结构：存储指向两个孩子的指针

typedef struct BiTNode
{
    struct Data data;         \\数据域
    struct BiTNode *lchild;   \\指向左孩子的指针
    struct BiTNode *rchild;   \\指向右孩子的指针
}BiTNode, *BiTree;