GM(1,1)灰色预测模型

GM(1,1)灰色预测模型

Author:丸子

Written on: 220211

笔记

• 课程来自b站网课老哥带你学数模
• 书本为《数学建模算法与应用（第3版）》，司守奎编著
• 第450页
• 灰色预测模型是灰色系统的一个重要应用，关于灰色系统有关的参见上一篇笔记《灰色系统理论与灰色关联分析模型》

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灰色系统的应用范畴大致分为以下几方面：

• （1）灰色关联分析。

• （2）灰色预测：人口预测；灾变预测…等等。

• （3）灰色决策。

• （4）灰色预测控制。

三、灰色生成数列

• 灰色系统理论认为，尽管客观表象复杂，但总是有整体功能的，因此必然蕴含某种内在规律。关键在于如何选择适当的方式去挖掘和利用它。灰色系统是通过对原始数据的整理来寻求其变化规律的，这是一种就数据寻求数据的现实规律的途径，即为灰色序列的生成。一切灰色序列都能通过某种生成弱化其随机性，显现其规律性。数据生成的常用方式有累加生成、累减生成和加权累加生成。

• 为什么要生成灰色序列？因为一个看起来随机的序列，通过某种方法（累加生成、累减生成、加权累加等），弱化随机性，就可以显示出规律。

3.1 累加生成

[1 3 5 7]

[1 4 9 16]

[1 5 14 30]

3.2 累减生成

• 其实就是累加的逆过程

[1 5 14 30]

[1 4 9 16]

[1 3 5 7]

• 意义就是：从没有看起来随机的数列[1 5 14 30]，两次累减后得到[1 3 5 7]，发现规律，可知2次累减数列下一个应该是9，从而推测（累加）可知原数列的下一个数。

3.3 加权邻值生成

• 注意特殊情况，生成系数为0.5时才叫做均值生成数或是等权邻值生成数

[1 2 3 4]

[0.5 1.5 3.5]

四、灰色模型GM（1,1）

引入

• 举例

  

  

• 特点

• 举例

• 类似导数，但是Δt换成了1，不是无限趋近于0的，称为灰导数。

GM(1,1)定义

• 灰色系统理论是基于关联空间、光滑离散函数等概念定义灰导数与灰微分方程，进而用离散数据列建立微分方程形式的动态模型，即灰色模型是利用离散随机数经过生成变为随机性被显著削弱而且较有规律的生成数，建立起的微分方程形式的模型，这样便于对其变化过程进行研究和描述。

• G表示grey（灰色），M表示model（模型）

• 为什么要建立微分方程模型呢？因为有规律的生成函数很多，这里用微分方程统一表示了

• 灰微分方程（因为导数不连续，不是实质意义上的微分方程，所以叫做灰微分方程）

• 灰导数

• A发展系数

• 白化背景值

• B灰作用量。

• 里面a和b是未知数，所以至少两个两个方程能够解出。但是我们的数据基本上>2个，说明有多余方程，多余解。这里用最小二乘思想。

• 构建出Y=Bu，因为B不一定是方阵，不一定存在逆，不能直接左乘B逆求。所以要用下面这个方式求。

• BT乘B是为了保证一定有逆

• 灰微分方程只是一个离散的，只是一个离散方程用近似的函数来描述，而应该要是连续的。这样求出的u无法用来做时间预测，而我们需要一个真正的（连续的）微分方程，提出GM(1,1)的白化型。

• 推导过程
• 左边第一个式子将k和k-1带入，就是x0

• 白微分方程和灰微分方程是近似的，但是白微分方程用在时间预测会简单靠谱很多，因为是连续的。

GM(1,1)灰色预测的步骤

1.数据的检验与处理

• 不是随便说说拿来一组离散数据都能用作灰色预测的，所以有一套检验方法
• 级比检验：满足的才可以灰色预测
• 不满足的话可以平移变换（加个数）使其符合

2.建立GM（1，1）模型

3.检验预测值

例子

《数学建模算法与应用（第3版）》第452页