【数学基础】数学分析 - 1 集合
集合
在这一部分, 介绍数学科学里最基础的概念——元素与集合, 其相关定义及定理. 在数学科学的学习过程中, 定义是第一关键要素, 必须在把握定义的基础上学习数学. 数学的定义是数学严谨思想最初体验, 数学是建立在基础定义及公理上进行科学研究的, 因此要求定义必须无二义性.
集合与元素基础概念
定义1-1 元素 元素是我们研究对象的最基本要素. 元素通常用小写字母 a , b , c a, b, c a,b,c等来表示.
定义1-2 集合 集合是元素所构成的整体. 集合通常用大写字母 A , B , C A, B, C A,B,C等来表示. 元素 a a a属于集合 A A A表示为 a ∈ A a\in A a∈A.
常见的集合如下:
- N \mathbb{N} N: 自然数集.
- Z \mathbb{Z} Z: 整数集
- Q \mathbb{Q} Q: 有理数集
- R \mathbb{R} R: 实数集
- C \mathbb{C} C: 复数集
集合间关系表示为:
- A ⊆ B A\subseteq B A⊆B: A A A是 B B B的子集.
- A ⊂ B A\subset B A⊂B: A A A是 B B B的真子集.
集合是有大小的, 通过数目来表示, 集合的大小称为"势", 势的大小用一一对应来比较.
定义1-3 可数集 与自然数集能建立起一一对应关系的集合. 常见的 N \mathbb{N} N、 Z \mathbb{Z} Z都是可数集.
定义1-4 幂集 一个集合的所有子集组成的集合称为"幂集". 集合 A A A的幂集记为 2 A 2^{A} 2A, 其势为 2 ∣ A ∣ 2^{|A|} 2∣A∣.
定义1-5 分划 若把一个有大小顺序的数系 S S S分成 A , B A, B A,B两类, 满足以下性质:
(1) 不空: A A A与 B B B至少包含 S S S中的一个数；
(2) 不漏: 数系 S S S中的每一个数, 或者属于 A A A, 或者属于 B B B；
(3) 不乱: A A A中的任意一个数 a a a, 均小于 B B B中的任意一个数 b b b, 即 ∀ a ∈ A \forall a\in A ∀a∈A, ∀ b ∈ B \forall b \in B ∀b∈B, 都有 a < b aa<b.
则称 A A A, B B B为数系 S S S的一个分划, 记为 A ∣ B A|B A∣B. 其中, A A A称为下类, B B B称为上类.
定义1-6 有界 对集合 A ⊆ R A\subseteq \mathbb{R} A⊆R, 如果 ∃ M ∈ R \exists M \in \mathbb{R} ∃M∈R, s.t. ∀ a ∈ A \forall a \in A ∀a∈A, 均有 a ≤ ∣ M ∣ a \leq |M| a≤∣M∣, 则称集合 A A A是有界的.
定义1-7 确界 确界分为上确界和下确界, 最小的上界称为上确界, 最大的下界称为下确界.
集合与元素相关定理
定理1-1 任意一个集合不能与其幂集一一对应. .
定理1-2 不存在有理数 p / q p/q p/q, 使得
( p q ) 2 = 2 ( \frac{p}{q})^2=2 (qp)2=2
戴德金连续性准则 如果一个有大小顺序的稠密数系 S S S, 对它的人一个分划 , 都有 S S S中唯一的一个数存在, 它不小于下类中的任何一个数, 也不大于上类中的每一个数, 那么称 S S S是连续的.
"戴德金连续性准则"也可以叙述为: 如果对稠密数系 S S S的每一个分划 A ∣ B A|B A∣B, 或者 A A A有最大数, B B B有最小数, 则称 S S S是连续的.
定理1-3 实数基本定理 (戴德金实数连续性定理) 实数系 R \mathbb{R} R按戴德金连续性准则是连续的. 即对 R \mathbb{R} R的任意一个分划 A ∣ B A|B A∣B, 都存在一个实数 r r r, 它大于或等于下类 A A A的每一个实数, 小于或等于上类 B B B中的每一个实数.
定理1-4 确界原理 有上界必有上确界, 有下界必有下确界. （即有界必有确界. ）