K阶前缀和\差分（NTT）

K阶前缀和\差分（NTT）

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$K$​阶前缀和

设数组$A=\{a_0,a_1,...,a_{\infty }\}$​​​​​​​​​，数组$B=\{b_0,b_1,...,b_{\infty }\}=\{1,1,1,..\}$​​​​​​​​​，一阶前缀和数组为：$S=\{s_0,s_1,...,s_{\infty }\}$​​​​​​​​​，$s_i={\sum }_{j=0}^i{a}_j$​​​​​​​​​。

$S$​​可以看成$A$​​和$B$​​的卷积：$s_i={\sum }_{j+k=i,j\ge 0,k\ge 0}{a}_j\times b_k$​​。

$s_0=a_0\times b_0=a_0$​
$s_1=a_0\times b_1+a_1\times b_0=a_0+a_1$​​
$s_2=a_0\times b_2+a_1\times b_1+a_2\times b_0=a_0+a_1+a_2$​
…

$A=a_0+a_{1}x+a_2{x}^2+...+a_{\infty }{x}^{\infty }$​​​​​，$B=1+x+x^2+...+x^{\infty }$​​​​​，$S=A\times B$​​​。

可以发现$B$​是一个公比为$x$​的等比数列，根据等比数列求和公式：$\frac{a_1\times (1-q^n)}{1-q}=\frac{1-x^{\infty }}{1-x}$​，取$x<1$，则$B=\frac{1}{1-x}$。

因为卷积操作满足结合律，则$K$​阶前缀和可以看做$S=A\times (\frac{1}{1-x}{)}^k$​​。

需要注意，在广义二项式定理中，$k=0$​​时$C_{\alpha }^k=1$​。

广义牛顿二项式展开？ - andrew shen的回答 - 知乎

对$B=(\frac{1}{1-x}{)}^k=(1-x{)}^{-k}$​进行分析，根据扩展二项式定理，可以将$B$​拆成：
$$\begin{array}{ccc}(1-x{)}^{-k}& =& {\sum }_{i=0}^{\infty }\frac{(-k)(-k-1)(-k-2)...(-k-i+1)}{i!}\times 1^{k-i}\times (-x{)}^i\\ & =& {\sum }_{i=0}^{\infty }\frac{(-k)(-k-1)(-k-2)...(-k-i+1)}{i!}\times (-1{)}^i\times x^i\\ & =& {\sum }_{i=0}^{\infty }\frac{(-k)(-k-1)(-k-2)...(-k-i+1)}{i!}\times (-1{)}^i\times x^i\\ & =& {\sum }_{i=0}^{\infty }\frac{(k)(k+1)(k+2)...(k+i-1)}{i!}\times (-1{)}^{2i}\times x^i\\ & =& {\sum }_{i=0}^{\infty }\frac{(k)(k+1)(k+2)...(k+i-1)}{i!}\times x^i\\ & =& {\sum }_{i=0}^{\infty }{C}_{k+i-1}^i\times x^i\end{array}$$
只需要将$A$​与$B={\sum }_{i=0}^{\infty }{C}_{k+i-1}^i\times x^i$​卷积即可。​【可以递推计算】

K阶差分

设数组$A=\{a_0,a_1,...,a_{\infty }\}$​​​​​​​​​​，数组$B=\{b_0,b_1,...,b_{\infty }\}=\{1,-1,0,0,..\}$​​​​​​​​​​，一阶前缀和数组为：$S=\{s_0,s_1,...,s_{\infty }\}$​​​​​​​​​​，$s_i={\sum }_{j=0}^i{a}_j$​​​​​​​​​​。

$S$可以看成$A$和$B$的卷积：$s_i={\sum }_{j+k=i,j\ge 0,k\ge 0}{a}_j\times b_k$。

$s_0=a_0\times b_0=a_0$​
$s_1=a_0\times b_1+a_1\times b_0=a_1-a_0$​
$s_2=a_0\times b_2+a_1\times b_1+a_2\times b_0=a_2-a_1$​
…

$A=a_0+a_{1}x+a_2{x}^2+...+a_{\infty }{x}^{\infty }$​​，$B=1-x$​​，$S=A\times B$​​。

因为卷积操作满足结合律，则$K$​阶差分可以看做$S=A\times (1-x{)}^k$​。

根据二项式定理，可以将$B$拆成：$(1-x{)}^k={\sum }_{i=0}^{\infty }{C}_k^i\times (-x{)}^i={\sum }_{i=0}^{\infty }{C}_k^i\times (-1{)}^i\times x^i$。

只需要将$A$与$B={\sum }_{i=0}^{\infty }{C}_k^i\times (-1{)}^i\times x^i$卷积即可。【可以递推计算】

代码

#include 
using namespace std;
#define ll long long
#define int long long
const int mod = 1004535809;

const int N = 1e5 + 5;
int n, k, A[N << 2], B[N << 2], limit, L, Inv, R[N << 2];

int readMod() {	// 读取，防止溢出
    char cc = getchar();
    int cn = 0, flus = 1;
    while (cc < '0' || cc > '9') {
        if (cc == '-') flus = -flus;
        cc = getchar();
    }
    while (cc >= '0' && cc <= '9')
        cn = (cn * 10 + cc - '0') % mod, cc = getchar();
    return cn * flus;
}

ll power(ll a, ll b) {
    ll res = 1;
    while (b) {
        if (b & 1) res = (res * a) % mod;
        a = (a * a) % mod, b >>= 1;
    }
    return res;
}

ll inv(ll x) { return power(x, mod - 2); }

void init(int x) {
    limit = 1, L = 0;
    while (limit <= x) limit <<= 1, ++L;

    for (int i = 0; i <= limit; i++)
        R[i] = (R[i >> 1] >> 1) | ((i & 1) << (L - 1));
    Inv = power(limit, mod - 2);
}

void NTT(int *a, int type) {
    int Gi = inv(3), G = 3;
    for (int i = 0; i < limit; ++i)
        if (R[i] > i) swap(a[i], a[R[i]]);
    for (int k = 1; k < limit; k <<= 1) {
        int d = power((type == 1) ? G : Gi, (mod - 1) / (k << 1));
        for (int i = 0; i < limit; i += (k << 1))
            for (int j = i, g = 1; j < i + k; ++j, g = (g * d) % mod) {
                int Nx = a[j], Ny = (a[j + k] * g) % mod;
                a[j] = (Nx + Ny) % mod, a[j + k] = (Nx - Ny + mod) % mod;
            }
    }
    if (type != 1)
        for (int i = 0; i <= limit; i++) a[i] = a[i] * Inv % mod;
}

signed main() {
    int type;
    cin >> n;
    k = readMod();
    cin >> type;
    for (int i = 0; i < n; i++) cin >> A[i];
    B[0] = 1;

    if (type == 0)  // 前缀和
        for (int i = 1; i <= n; i++)
            B[i] = B[i - 1] * (k + i - 1) % mod * inv(i) % mod;

    if (type == 1)  // 差分
        for (int i = 1; i <= n; i++)
            B[i] = (-B[i - 1] * (k - i + 1 + mod) % mod * inv(i) % mod + mod) %
                   mod;
    // ============================================================NTT
    init(n + n), NTT(A, 1), NTT(B, 1);
    for (int i = 0; i <= limit; i++) A[i] = A[i] * B[i] % mod;
    NTT(A, -1);
    // ============================================================

    for (int i = 0; i < n; i++) cout << A[i] << " ";
    return 0;
}