麻省理工线性代数---第六课：列空间和零空间、第七课：求解Ax=0:主变量、特解

第六课：列空间和零空间

1.子空间

加法封闭、乘法封闭

2.列空间

（1）引入列空间

    R^4中的四维向量；

    A的列空间由所有列的线性组合构成；

（2）求解

    三个列向量无法填充四维空间；
    AX=b并不总有解。可能有一大堆b，不是这三个向量的线性组合；

    有四个方程，三个未知数。

（3）什么样的b能让方程有解？

通常误解，特殊情况有解。

a).b=0

b).

c).

......

总结：要想方程有解，B应属于A的列空间。b是A的线性组合时，AX=B才有解。

（4）将A中三列向量组合，是否每个向量都对组合有所贡献？

A中第三列是有第一列和第二列线性组合（相加）得到的，这两列称为“主列”，第三列可忽略。这个空间可以描述为R^4中的二维子空间。

3.零空间

（1）A的零空间包含什么？

不包含右侧的向量b，包含X，包含AX=0中所有的解（x还是三个分量X1、X2、X3）。

（2）关心b=0时X的解

a).x属于R^3

b).列空间是R^4子空间

（3）求解

4.检验：AX=0的解构成一个子空间

5.A中b不为零，R^3可以构成向量空间？

答案：NO。基本的零向量都不满足。

第七课：求解Ax=0:主变量、特解

    从定义转向使用算法解AX=0

1.消元、继续消元、得到关键的主元个数r，剩下n-r个自由变量。

第一步：

第二步：

第三步：梯形

        主元个数：2，该数字称为矩阵的秩。

第四步：找出“主变量”，即主列、“自由列”

        自由列：表示可以自由或任意分配数值。

因此，X2、X3可以任取值，然后只需求解X、1X3即可。

如下：分配给x2=1和x4=0

回代：得到x3=0,x1=-2

得到：一个解。

该向量的任意倍数是方程组的解

直线在零空间中，但它是整个零空间？NO。

自由变量可以任取。

这两个向量称为特解

其倍数解也在零空间上

两个特解的线性组合

零空间包含特解的线性组合。

每个自由度对应一个特解。

自由度的个数（M*N的矩阵）：r个主变量，有N-r个自由度。

r个主变量，表示只有r个方程起作用。

2.让矩阵看起来更干净：简化行阶梯形式

目前这个矩阵是阶梯形式矩阵，对其进一步化简，得到简化行阶梯形式。

第三行的0是因为行3是由行1行2的线性组合

向上消元：让主元上方都为0。因此简化行阶梯形式中，主元上下全为0。

a)开始消元

b)将主元简化为1

c)整个化简过程

d)进一步总结

e）用最简形式求解

f)单位阵、矩阵的自由部分

3.一般形式

a)求解RX=0

构造一个零空间矩阵（N），各列由特解组成。即：RN=O

b）总结得：

得：X主变量=-F*X自由度

4.实例

A的转置:

A的转置的简化形式：

秩：2

自由列：1

零空间:

R：

回代结果：