插值算法——分段线性插值(1)

首先,科普一下插值的含义:在离散数据的基础上补插连续函数,使得这条连续曲线通过全部给定的离散数据点。

插值是离散函数逼近的重要方法,利用它可通过函数在有限个点处的取值状况,估算出函数在其他点处的近似值。

插值的方法有很多:拉格朗日插值法,牛顿插值法,分段线性插值,样条插值等,每种插值方法都有自己的优缺点。

今天,我们介绍的是比较简单的分段线性插值方法,分段线性将每两个相邻的节点用直线连起来,如此形成的一条折线就是分段线性插值函数。计算x点的插值时,只用到x左右的两个节点,计算量与节点个数n无关。

假设两个节点为(x1,y1)和(x2,y2),则该区间上的一次线性方程为:

下面讲解一下证明过程(证明过程很简答,大家在初中就学过了):

插值算法——分段线性插值(1)_第1张图片

 

插值算法——分段线性插值(1)_第2张图片

 以上就是分段线性插值的原理,可以看出原理十分简单。分段线性插值运算量较小,插值误差较小,插值函数具有连续性,但是由于在已知点的斜率是不变的,所以导致插值结果不光滑,存在角点。

下面给出分段线性插值的MATLAB实现函数:

function y_output = piecewiselinearinterp(x,y,x_input)
%该函数实现分段线性插值
%x为已知的数据点
%y为已知的数据点
%x_input为待插值的横坐标
%y_output为插值后的到的结果
%The Author:等等登登-Ande
%The Email:[email protected]
%The Blog:qq_35166974

n = length(x);
nn = length(x_input);

for j=1:nn
    for i=1:n-1
        if (x_input(j)>x(i) && x_input(j)<=x(i+1))
            y_output(j) = ((x_input(j)-x(i+1))/(x(i)-x(i+1)))*y(i)+(((x_input(j)-x(i))/(x(i+1)-x(i)))*y(i+1));
        end
    end
end
%分段线性插值测试
x = 0:2*pi;
y = exp(x);
x_input = 0:0.1:6;
y_output = piecewiselinearinterp(x,y,x_input);
plot(x,y,'ro:',x_input,y_output,'b+')

函数运行结果是:

 

插值算法——分段线性插值(1)_第3张图片

从运行结果可以看出,插值总体趋势是正确的,但是存在着很多角点,当节点越多时,插值效果会越好。

 

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