脑信号的图频率分析

Weiyu Huang; Leah Goldsberry; Nicholas F. Wymbs; Scott T. Grafton; Danielle S. Bassett; Alejandro Ribeiro

宾夕法尼亚大学电气与系统工程系，美国宾夕法尼亚州费城

摘要

        本文介绍了从图谱角度分析功能性大脑网络和信号的方法。传统上为离散时间和图像网格等规则域支持的信号定义的频率和滤波器的概念最近被推广到不规则图形域，并定义了与大脑区域不同级别的空间平滑度相关的大脑图形频率。大脑网络频率还可以将大脑信号分解成与平滑或快速变化相对应的片段。当感兴趣的网络表示功能连接时，我们将图形频率与主成分分析联系起来。当受试者掌握简单的运动技能时，这些方法被用来分析大脑网络和信号。我们观察到对应于不同图形频率的大脑信号在整个学习过程中表现出不同程度的适应性。此外，我们注意到大脑网络的图形频谱特性与所执行任务的暴露水平之间存在很强的关联，并认识到在不同任务熟悉程度下最有贡献和最重要的频率特征。

引言

        

        大脑活动模式的研究已证明在识别神经系统疾病和个体行为特征方面很有价值[1] – [3]。使用描述不同区域一致行动趋势的功能性大脑网络已证明在类似问题的分析中具有互补性[4] – [7]. 信号和网络证明在类似问题中有用也就不足为奇了，因为两者密切相关。在本文中，我们提倡一种中间路径，在该路径中，我们将大脑活动解释为大脑连接图上支持的信号。我们展示了如何使用图形信号处理工具来使用网络从大脑信号中收集信息，以帮助识别感兴趣的模式。将网络信息纳入信号分析的好处已在多个领域得到证明。值得注意的应用示例包括视频压缩[8]、乳腺癌诊断[9]、电影推荐 [10]和半监督学习[11] 。

        我们在大脑信号分析中利用大脑连通性的基本 GSP 概念是图傅立叶变换 (GFT) 以及图频率分量和图滤波器的相应概念。这些概念是傅立叶变换、频率分量和在时间和空间网格等规则域中使用的滤波器的概括[12] – [14]. 因此，它们允许将图形信号分解为代表不同可变性模式的分量。我们可以定义低图频率分量，表示在定义明确的意义上相对于大脑连接网络缓慢变化的信号，以及表示在相同意义上快速变化的信号的高图频率分量。这一点很重要，因为低和高的时间 变异性已被证明在神经系统疾病和行为的分析中很重要 [15]，[16]。基于 GFT 的分解允许对固定时间跨大脑区域的变异性进行类似的分析——一种空间 根据连接模式测量的可变性。我们在这里证明它在类似意义上是有用的；参见例如图。6 – 8和10。

        本文中的 GSP 研究与主成分分析 (PCA) 相关，PCA 已成功用于脑信号分析[17]、[18] 。与我们在此介绍的 GSP 分析的不同之处在于，PCA 隐含地假设大脑网络是一个相关矩阵，并且信号是从随机模型中提取的。更重要的是，GFT 可用于将信号分解为低频、中频和高频分量，而 PCA 主要用于降维；这在本文的语言中无异于分析一些低图频率成分。另一个重要的区别是 PCA 侧重于识别不同 脑信号的实现，但 GFT 识别单个 实现的空间变异性。GSP 还与一般网络的频谱分析有关，特别是拉普拉斯算子 [19]、[20]。这种情况下的不同之处在于，这些频谱分析会产生网络的特性。在 GSP 分析中，网络提供了一个底层结构，但感兴趣的是在该层上表达的信号。 

        最近的研究已经表明，利用来自结构性大脑连接的底层图形网络的信息来过滤 fMRI [21] 和 EEG [22]等功能信号可以提高定位精度。最近刚刚引入了研究特定图形频率的概念，以捕获结构静止状态网络 (RSN) 的关键特征。已确定个别低频代表与视觉和运动区域相关的低重建误差静息状态网络，并且已经看到更高的频率可以很好地重建更复杂的 RSN [23]. 我们在这里展示的研究通过使用 GSP 扩展了这些概念，不仅用于调查整个底层网络或底层网络上的单个频率，而且研究不同频率范围如何捕获有关信号激活模式的重要信息，并将其应用到动态的、与任务相关的信号。这些先前的发现为此类调查提供了很大的动力。

        本文的目的是介绍 GSP 概念，这些概念可用于分析大脑信号，并证明它们在识别在受试者学习执行视觉运动任务时监测活动时出现的模式方面的价值。具体来说，本文的贡献是：(i) 解释 GSP 新兴领域的工具，并展示它们如何应用于分析大脑信号。(ii) 评估脑功能网络的图谱并定义复制功能网络图谱特征的人工网络构建方法。(iii) 检查参与者执行视觉运动学习任务时对应于不同图形频率的大脑信号的时间变化。

        我们从介绍图形和图形信号的基本概念开始本文。特别强调了图傅立叶变换的定义和和将图形频率分量解释为相对于大脑网络测量的空间变异性的不同模式（第 II-A 节 ）。我们还介绍了图形滤波器的概念，并讨论了图形低通、带通和高通滤波器作为局部平均操作的解释（第 II-B 节）。我们指出，此处的讨论对于熟悉 GSP 的读者来说超出了必要的范围，因此不一定熟悉该主题的读者也可以阅读本文。

        然后我们继续描述两个不同的实验，涉及不同组参与者学习不同的视觉运动任务（第 III 节）。我们可视化与功能性大脑网络相关的分解图频率（第 IV 节）。我们发现功能网络的高图频率集中在大脑的视觉和感觉运动模块——众所周知与运动学习相关的两个大脑区域[24]、 [25]. 这促使我们考虑低频成分以外的图频率，而面向 PCA 的方法一直关注低频。我们还描述了一个简单模型的构建，以建立具有一些网络描述性参数的人工网络（ 第 IV-A 节）。我们观察到该模型能够模仿实际功能性大脑网络的特性，并且我们使用它们来分析大脑网络的光谱特性（ 第 IV-B 节）。然后，该论文利用图形频率分解来可视化和研究具有不同空间变化水平的大脑活动（ 第 V 节）). 值得注意的是，与不同图形频率相关的分解信号在整个学习过程中表现出不同程度的时间变化（第 VA 节）。最后，我们还定义了受试者的学习能力，并通过评估大脑频率在不同任务熟悉度下与学习表现的相关性来检验大脑频率在不同任务熟悉度下的重要性（第六节）。我们发现随着学习的进展，我们更喜欢不同级别的图频率分量。

图信号处理

        本文的兴趣是研究大脑信号，其中我们被给予与n个不同大脑区域中的每个皮质区域相关联的测量值xi的集合。这种类型的信号的一个例子是fMRI读数，其中xi估计大脑区域i的活动水平。n个测量值的集合此后被分组为向量信号x = [x1, x2, . . . , xn]T ∈ Rn.信号x的一个基本特征是存在一种潜在的结构或功能连接模式，该模式耦合了信号x在不同大脑区域的值。不管连接是功能性的还是结构性的，我们在这里的目标是描述利用这个潜在的大脑网络来分析神经生理信号x的模式的工具。

        我们通过使用一个连接的、加权的和对称的网络来模拟大脑区域之间的连接。形式上，我们将网络定义为对G=(V，W)，其中V={1，.。。。，n}是代表单个大脑区域的n个顶点或节点的集合，W∈Rn×n表示网络中的边的权重，其中wij≥0是边(i，j)的权重，其中i，j∈V。由于网络是无向的和对称的，所以我们对所有(i，j)都有wij=wji。权重wij=wji表示区域i和j之间的连接的强度，或者等价地，节点i和j之间的接近程度或相似性。就信号x而言，这意味着当权重wij较大时，信号值xi和xj倾向于相关。相反，当权重wij较小时，信号值xi和xj不直接相关，除非它们分别连接到其他节点所隐含的内容。

        我们采用了次数和拉普拉斯矩阵的传统定义[26，第1章]。次矩阵D∈Rn×n+是第i个对角元素Dii=Pnj=1wij的对角矩阵。拉普拉斯矩阵定义为差L：=D−W∈Rn×n。拉普拉斯矩阵的分量由Lij=−wij和Lii=Pn j=1wij显式给出。观察到拉普拉斯是实的、对称的、对角占优的，并且具有严格的正对角线元素。因此，矩阵L是半正定的。在下一节中，将利用L的特征向量分解来定义图的傅里叶变换和相关的图频率的概念。

        我们注意到，大脑网络，无论它们的连通性是功能性的还是结构性的[28]，往往在一段时间窗口内是稳定的，在捕获的感兴趣时间期间需要大脑区域之间的关联。大脑活动可以更频繁地变化，形成共同的底层网络支持的多个大脑信号样本。

A.图傅里叶变换和图频率

        给定图拉普拉斯L是实对称的，它可以分解成其特征值分量，L = VΛVH, (1)，使得对于特征值集{λk}k=0，1，…，n−1，对角线特征值矩阵定义为Λ：=λ(λ0，DIAG 1。。。，λn−1)，以及V := [v0, v1, . . . , vn−1] (2)是特征向量矩阵。VH表示矩阵V的厄米特(共轭转置)。我们假设拉普拉斯L的特征值集是有序的，使得0=λ0≤λ1≤。。。≤λn−1。如下所示，(1)的有效性是因为对称矩阵的特征向量是正交的，使得(2)中的定义意味着Vhv=I。特征向量矩阵V用于定义图形信号x的图形傅里叶变换，如我们接下来正式陈述的那样；例如，参见[14]。

        定义1：给定信号x∈Rn和接受(1)中分解的图拉普拉斯L∈Rn×n，x关于L的图形傅立叶变换是信号˜x：=vhx。(3)x˜关于L的逆(I)˜定义为x：=vx GFT。(4)我们说x和x˜构成一个广义傅立叶变换对

        观察到，由于VVH=I，所以IGFT确实是GFT的逆。在给定信号x的情况下，我们可以按照(3)计算GFT。给定变换x˜，我们可以通过(4)中的IGFT变换恢复原始信号x

        有几个理由可以证明将GFT与傅里叶变换联系起来是合理的。从数学上讲，这只是一个定义问题，如果(1)中的矢量Vk是形式Vk=[1，ej2πk/n，.。。。，ej2πk(n−1)/n]T，定义1中的广义傅立叶变换和广义傅立叶变换归结为传统的时域傅里叶变换和傅里叶逆变换。更深入地说，如果图G是一个圈，则(1)中的向量Vk的形式为Vk=[1，ej2πk/n，.。。。，ej2πk(n−1)/n]T.。由于循环图是离散周期信号的表示，因此时间信号的GFT等价于传统的离散傅立叶变换；例如，见[29]。

        GFT的一个重要特性是，它编码的可变性概念类似于傅立叶变换为时间信号编码的可变性概念。要查看这一点，请定义˜x：=[˜x0，.。。。，x˜n−1]T并展开(4)中的矩阵乘积，以将原始信号x表示为x =nX−1k=0˜xkvk. (5)