Python内置数学模块全整理，易查易阅

math

提供了一些基础的计算功能，下列表达式默认from math import *，输入输出均为一个数字。

常见函数
三角函数	cos, sin, tan, acos, asin, atan
	atan2(x,y)=$\arctan \frac{y}{x}$
双曲函数	cosh, sinh, tanh, acosh, asinh, atanh
幂函数	exp, sqrt, expm1(x)=$e^x-1$, pow(x,y)=$x^y$
对数函数	log, log10, log2, log1p(x)=$\ln (1+x)$
	log(x)=$\ln x$, log(x,y)=${\log }_{y}x$
取整	向上ceil, 向下floor，实值向下取整trunc
	isqrt(x)相当于floor(sqrt(x))
角度转换	转角度degrees，转弧度radians
拆分	a,b = modf(x)即x=a.b，a,b=frexp(x)即$x=a\cdot 2^b$
其他函数	阶乘factorial，绝对值fabs，最小有效比特位的值ulp

特殊函数
erf(x)	误差函数，$\frac{2}{\sqrt{\pi }}{\int }_0^x{e}^{-{\eta }^2}\text{d}\eta$
erfc(x)	补误差函数，即1.0-erf(x)
gamma(x)	$\Gamma$函数，${\int }_0^{+\infty }{t}^{x-1}{t}^{-t}\text{d}t(x>0)$
lgamma(x)	$\Gamma$函数，即log(abs(gamma(x)))

误差函数和$\Gamma$函数的图像如下

判断函数	isfinite(x)	isinf(x)	isnan(x)
True值条件	x为有限值	x为正负无穷	x为nan

常量	$\pi$	$e$	$\tau =2\pi$	$\inf$	nan
值	3.14…	2.71…	6.28…	正无穷	非数字
代码	pi	e	tau	inf	nan

输入	输入为任意多个数值的函数
整数	最大公约数gcd，最小公倍数lcm
数值	精确求和fsum， 欧几里得范数hypot（可理解为均方根）
	连乘prod，可选参数start表示初始值

其他函数

• comb(n,k)=$C_n^k=\frac{n!}{k!(n-k)!}$，即二项系数
• perm(n,k)=$\frac{n!}{(n-k)!}$
• copysign(a,b)=$|a|\cdot \frac{b}{|b|}$
• dist(p,q)=${\sum }_i(p_i-q_i{)}^2$
• ldexp(x, i)=$x\cdot 2^i$
• 求余数：fmod(x,y)，remainder(x, y)
• nextafter(x, y)，返回x趋向于y的最接近的浮点数值。

isclose(a, b, *, rel_tol=1e-09, abs_tol=0.0)

• 若 a 和 b 的值比较接近则返回True，否则False。
• rel_tol 是相对容差，表示a, b之间允许的最大差值。例如，要设置5％的容差，rel_tol=0.05。rel_tol 必须大于0。
• abs_tol 是最小绝对容差，其值不小于0。
• 等价于abs(a-b) <= max(rel_tol * max(abs(a), abs(b)), abs_tol)

cmath

即complex math，复数运算包，和math有很多同名函数，无非是math没法计算复数而已。在python中，创建复数的方法是

x = 1+1j

常见函数
三角和幂函数	cos, sin, tan, acos, asin, atan,exp, sqrt
双曲和反双曲	cosh, sinh, tanh, acosh, asinh, atanh
对数函数	log10, log(z)=$\ln z$, log(x,y)=${\log }_{y}x$
坐标转化	转为极坐标polar，转为直角坐标rect
虚数函数	相位phase，模数(绝对值)abs
判断函数	isnan，isinf，判断有限值isfinite

常量	$\pi$	$e$	$\tau =2\pi$	$\inf$	$\text{i}\inf$	nan	nanj
值	3.14…	2.71…	6.28…	正无穷	虚正无穷	非数字	虚非数字
代码	pi	e	tau	inf	infj	nan	nanj

在cmath中，也提供了类似math中的isclose

cmath.isclose(a, b, *, rel_tol=1e-09, abs_tol=0.0)

• 若 a 和 b 的值比较接近则返回True，否则False。
• rel_tol 是相对容差，为a, b之间允许的最大差值。例如，要设置5％的容差，rel_tol=0.05。rel_tol 必须大于0。
• abs_tol 是最小绝对容差，其值不小于0。
• 等价于abs(a-b) <= max(rel_tol * max(abs(a), abs(b)), abs_tol)

statistics

Python自带的统计学工具，功能很弱，但初学者认识一下也是好的。

下面的函数输入均为list。

	中心特征
平均数	算术平均数mean,浮点算数平均数fmean 几何平均数geometric_mean，调和平均数harmonic_mean
中位数	median，分组中位数median_grouped 低中位数median_low，高中位数median_high
众数	mode，众数列表multimode
标准差	总体pstdev，样本variance
方差	总体pstdev，样本stdev

此外，quantiles()将数据以相等的概率分为多个间隔；
covariance()计算样本协方差；correlation()计算皮尔逊相关系数；linear_regression()计算简单线性回归的斜率和截距。

random

基本原理

用于生成伪随机数，之所以有个伪字，是因为计算机没法生成真正的随机，而只是把一个初始值变得面目全非，从而很像随机数。

这个初始值，是通过seed实现的，如果不设置，则默认为当前的系统时间。

在ramdom中，使用最多的应该就是random.random()了，其功能为返回一个$[0,1)$区间的实数。接下来可以通过random.random()来验证以下random.seed()的功能。

>>> def rand(n):
...   random.seed(n)
...   print(random.random())
...   print(random.random())
...
>>> rand(3)
0.23796462709189137
0.5442292252959519
>>> rand(3)
0.23796462709189137
0.5442292252959519

使用seed的一个好处是方便算法复现，比如用某个随机数做算法，然后换了个随机数之后发现算法不对了，就会非常尴尬，这个时候seed就派上了用场。

相比之下，getstate和setstate更加强大，可以获取或设置当前的状态。

>>> a = random.getstate()
>>> random.random()
0.36995516654807925
>>> random.random()
0.6039200385961945
>>> random.setstate(a)
>>> random.random()
0.36995516654807925
>>> random.random()
0.6039200385961945

整数和字节

接下来的所有代码默认from random import *。

randbytes(n)	生成n个字节
randrange(b)	生成一个[0,b]之间的整数
randrange(a,b,step=1)	在range(a,b,step)中随机选一个数
randint(a,b)	相当于randrange(a, b+1)
getrandbits(k)	相当于randint(0,2**k)

分布函数

random中的分布函数均为浮点型。

		分布函数$f(x)$
uniform(a,b)	[a,b]间均匀分布	$\frac{1}{|b-a|},x\in [a,b]$
triangular(a,b,mid)	三角分布
betavariate(a,b)	$\beta$分布	$\frac{\Gamma (a+b)}{\Gamma (a)\Gamma (b)}{x}^{a-1}(1-x{)}^{b-1}$
expovariate(a)	指数分布	$a\cdot e^{-ax}x>0$
gammavariate(a,b)	$\gamma$分布	$\frac{x^{a-1}\exp (\frac{-x}{b})}{\Gamma (a)\ast b^a}$
gauss(b,c)	正态分布	$\frac{1}{\sqrt{2\pi }c}\exp \frac{(x-b{)}^2}{2c^2}$
normalvariate(b,c)	正态分布，慢于gauss	$\frac{1}{\sqrt{2\pi }c}\exp \frac{(x-b{)}^2}{2c^2}$
lognormvariate(b,c)	对数正态分布	$\frac{1}{cx\sqrt{2\pi }}\exp \frac{(\ln x-b{)}^2}{2c^2}$
vonmisesvariate(a,b)	冯·米塞斯分布	$\exp [\frac{b\cos (x-a)}{2\pi J_0(b)}]$
paretovariate(a)	帕累托分布	$x^{-a}$
weibullvariate(a,b)	韦伯分布	$\frac{b}{a}(\frac{x}{a}{)}^{b-1}\exp [-(\frac{x}{a}{)}^b]$

注：

$\Gamma (x)={\int }_0^{+\infty }{t}^{z-1}{e}^{-t}\text{d}t(x>0)$

$J_0(x)={\sum }_{m=0}^{\infty }\frac{(-1{)}^m}{m!\Gamma (m+1)}(\frac{x}{2}{)}^{2m}$

通过matplotlib可绘制一下分布的形状，以正态分布为例：

import matplotlib.pyplot as plt
xs = [gauss(0,1) for _ in range(10000)]
plt.hist(xs,1000)
plt.show()

可以说十分正态了。

用于序列的随机函数

• choice(lst)：从lst中随机选择一个数
• shuffle(lst)：把lst打乱
• sample(lst, k, counts=None)：从lst中选出k个数，counts代表lst中对应元素的个数，为整数。

choices(lst，weights=None, cum_weights=None, k=1)：从lst中选择一个子列表

• k为元素个数
• weights为相对权重数组，长度与lst相同，每个元素都大于0，代表对应元素出现的概率权重，
• cum_weights为累加权重数组，长度与lst相同

fractions

分数模块中主要实现了分数类Fraction，其构造函数被重载成数个，分别可以通过浮点数、两个整数或者字符串等方法，并且对运算符进行了重载。

from fractions import Fraction as Frac
>>> a = Frac("3/5")
>>> a
Fraction(3, 5)
>>> print(a.as_integer_ratio())     #将分数输出为元组
(3, 5)
>>> b = Frac(5,3)   #Fraction(5, 3)
>>> c = Frac(2.5)   #Fraction(5, 2)
>>> print(a+c)
31/10
>>> print(b/c)
2/3

类成员为

real	imag	numerator	denominator
实部	虚部	分子	分母

此外还有一个函数a.limit_denominator(dMax)，用于返回一个分母不大于dMax的最接近于a的分数。

>>> a = Frac(6.4)
>>> a           #由于舍入误差，所以得到的值并不正确
Fraction(3602879701896397, 562949953421312)
>>> a.limit_denominator(10000)
Fraction(32, 5)

decimal

在python中比较常见的问题是

>>> 0.333333333333333333333*3
1.0
>>> 0.999999999999999999999999
1.0

如果这可以算作程序的“自作聪明”的话，那么下面这个就是完全没有必要的误差了。

>>> 0.1*3-0.3
5.551115123125783e-17

decimal就为了解决这个问题，下面的代码默认from decimal imoprt *。

通过Decimal来新建一个Decimal格式的数字，然后就可以像float一样使用Python中的函数了。

>>> x = Decimal(1)
>>> x
Decimal('1')
>>> x/3
Decimal('0.3333333333333333333333333333')
>>> x/3*3
Decimal('0.9999999999999999999999999999')

Decimal对象

Decimal中内置了很多函数，可以通过如下形式调用

>>> D = decimal.Decimal
>>> x = D(15)
>>> x.sqrt()
Decimal('3.872983346207416885179265400')

此外，可以输入一些字符串来得到特殊值，例如无穷大

>>> x = D('Infinity')
>>> x
Decimal('Infinity')

成员变量	imag	real
	虚部	实部

	函数
返回自身	conjugate，canonical，normalize返回最简形式，number_class返回类形式
用于判断	is_finite, is_infinite, is_zero, is_signed(判断正数),
	is_nan, is_qnan, is_snan
	is_normal, is_subnormal, is_canonical,
数学函数	exp, ln, log10, logb, sqrt，copy_abs，copy_negate返回负值
舍入函数	to_integral_exact，to_integral_value, to_integral
转字符串	to_eng_string转字符串，as_tuple 返回每一位数字的元组
返回分数	as_integer_ratio=$\frac{a}{b}$
移位函数	adjusted 返回科学计数法的指数
相邻数字	next_minus，next_plus

	双元运算，默认格式为a.xxx(b)
常规运算	remainder_near求余，quantize 乘方，a.scaleb(b)=$a\times 10^b$
逻辑运算	logical_and, logical_invert, logical_or, logical_xor
比较运算	compare 相等为0，a>b为1，a< b为-1
	compare_signal，compare_total，compare_total_mag
	a.copy_sign(b)=$\frac{|b|}{b}a$
	same_quantum如有相同指数则返回1
相邻值	next_toward返回趋向b的最接近于a的数字
最值	max, min, max_mag, min_mag， 例如a.max(b)等价于max(a,b)

常量和成员变量

舍入模式	舍入方向
ROUND_CEILING	正无穷
ROUND_FLOOR	负无穷
ROUND_DOWN	0
ROUND_UP	0的反方向
ROUND_HALF_DOWN	最接近的数，同样接近则舍入方向为零。
ROUND_HALF_EVEN	最接近的数，同样接近时趋向偶数。
ROUND_HALF_UP	最接近的数，同样接近则舍入到零的反方向
ROUND_05UP	末位趋0或5

常量	MAX_PREC	MAX_EMAX	MIN_EMIN	MIN_ETINY
32位	425000000	MAX_PREC	-MAX_PREC	-849999999
64位	1e18-1	MAX_PREC	-MAX_PREC	-(MAX_PREC-2)

上下文对象

在decimal中，通过上下文对象来管理精度、舍入规则等，可通过getcontext和setcontext来读取和更改。

>>> getcontext()
Context(prec=28, rounding=ROUND_HALF_EVEN, Emin=-999999, Emax=999999, capitals=1, clamp=0, flags=[Inexact, FloatOperation, Rounded], traps=[InvalidOperation, DivisionByZero, Overflow])

decimal内置了三种上下文

>>> BasicContext
Context(prec=9, rounding=ROUND_HALF_UP, Emin=-999999, Emax=999999, capitals=1, clamp=0, flags=[], traps=[Clamped, InvalidOperation, DivisionByZero, Overflow, Underflow])
>>> ExtendedContext
Context(prec=9, rounding=ROUND_HALF_EVEN, Emin=-999999, Emax=999999, capitals=1, clamp=0, flags=[], traps=[])
>>> DefaultContext
Context(prec=28, rounding=ROUND_HALF_EVEN, Emin=-999999, Emax=999999, capitals=1, clamp=0, flags=[], traps=[InvalidOperation, DivisionByZero, Overflow])

如果希望自定义，可以通过Context的构造函数

Context(prec=None, rounding=None, Emin=None, Emax=None, capitals=None, clamp=None, flags=None, traps=None)

其中

• prec为[1, MAX_PREC]范围内的整数，用于设置精度。
• rounding 设置舍入方式。
• Emin 和 Emax 给定指数所允许的外部上限。 Emin在 [MIN_EMIN, 0]范围内，Emax 在[0, MAX_EMAX]范围内。
• capitals默认为1，此时指数符号为大写的E，为0是用小写e。
• traps用于设置当前上下文的警告信息。
• clamp 默认为0，如果设为 1，则指数e的表示范围在将被限制在 Emin - prec + 1 <= e <= Emax - prec + 1。 如果 clamp 为 0 则将适用较弱的条件: Decimal 实例调整后的指数最大值为 Emax。

除了getcontentext之外，还可以通过localcontext来获取当前上下文，其方法为

>>> with d.localcontext() as ctx:
...   print(ctx.prec)
...
28

报错与警告(signal)

在decimal中有14种警告信息(官方文档写的是10个，但源码中有14个)：

除DecimalException为基类外，另外13个警告信息为

Clamped	指数超限	InvalidOperation	无效操作
DivisionByZero	除零错误	DivisionImpossible	除法发生了舍入
Overflow	溢出	DivisionUndefined	未定义的除法
		Subnormal	舍入前指数低于Emin
Underflow	向下溢出	FloatOperation	与float运算
Rounded	发生了舍入	ConversionSyntax	字符串转化不完美
Inexact	不精确舍入	InvalidContext	上下文有歧义