图像分割 - 水平集算法

水平集介绍

水平集分为三种：

1 . 基于图像边缘灰度梯度信息 ，适用于边缘强的图像分割

2 . 基于区域特征 ，利用区域信息引导曲线慢慢靠近 ，比如分割曲线区域的内外灰度均值，分割曲线内部区域面积（例如 Chan-Vase）

3 . 混合型

水平集关键 ：曲线的演变

首先设置一个初始轮廓，也就是初始轮廓，通过将这个初始轮廓演变成图像中需要分割出来的形状，那具体是如何演变的呢 ？我用自己的理解来解释一下：

既然曲线在演变，那曲线的每一个点一定有一个演化的方向，如何确定演化方向？

用最优方向，也就是梯度方向的法线方向，因为曲线沿这个方向变化最快 .

既然曲线在演变，每一个点不但有了方向也应该有一个速度，如何控制曲线演变速度呢？

用梯度信息，也就是图像的灰度分别对坐标轴两方向求偏导，靠近边缘变化慢，远离边缘变化快 .

Chan-Vese(CV) 算法

要用水平集实现图像分割 ， Chan-Vese算法是一个非常重要的算法，CV模型使用图像的像素灰度信息作为能量，构造能量函数，通过控制曲线内外图像的灰度值来实现曲线的演变，公式如下：

其中  表示原图像在  坐标下的灰度值 ，  分别为曲线内外图像灰度值的均值 .

当曲线演变至目标轮廓时， 取极小值，内外能量守恒 .

再在 上加上一些正则项 ，得出一个能量泛函：

引入水平集函数 :   

先来说一下我对这个函数   的理解 ，我把它理解成一个描绘等高线的函数，他不是一个曲线函数，我们可以把它理解成一个面函数，从初始曲线映射的面函数，假设引入时间变量  ，随着时间  在变 曲线也就在演变，而面也就一层一层的向下演变，这个在之后的变分方程（E-L公式的介绍里会详细的说明）当演化到一定程度，再通过绘制等高线的方法，来实现图像最终的分割.

刚才既然说到水平集函数是一个面函数，那么如何表示曲线呢？这里就要引入Heaviside Fucntion(阶跃函数)  公式如下：

这里阶跃函数的参数  就是水平集函数  

一般一个初始的轮廓设置时，变量是一个和原图相同大小的矩阵，轮廓内的值为 1，而轮廓外的值为  -1，通过慢慢演变，

中的 -1逐渐增大变为正数，迭代到一定程度是 ，将轮廓曲线分割完成，而  阶跃函数的意义就是 如果，也就是 的值 了，说明该点已经被认为是演化出来的新的轮廓了.

 能量泛函的定义

上面已经提到过，能量泛函为：

 其中：

并且每一个前面都需要有一个权重参数，所以总能量泛函就可以是：

其中：

在理论上来讲，Heaviside Fucntion(阶跃函数)是不存在的，所以我们选择了一个替代函数（为常数）：

 为什么选择这个函数呢？因为后面变分法梯度下降的时候，会涉及到  求导，而数学好的已经发现了 求导是一个跟  有关的常数 .

当ϵ 的取值越小，替代函数也就越接近理想中的的阶跃函数。

求解能量泛函极值

我们使用变分法（欧拉 - 拉格朗日）和梯度下降来求泛函  的最优解，公式如下：

代码实现中，我们也是通过这个公式来实现迭代并更新水平集函数