天目春辉
天目春辉

高中奥数 2022-03-27

构造法是不等式证明中的一种重要方法.主要利用引入适当的恒等式、函数、图形、数列等辅助手段,使命题转化,变成较为直观和本质的形式,进而使不等式获证。

构造恒等式

恒等式可以看作是最强的不等式,有时候,通过补充不等式中略去的那些项或因式,可以得到隐藏在其背后的恒等式,这样往往能找到证题的突破口,因为恒等式的结果是显然的.

2022-03-27-01

（来源: 数学奥林匹克小丛书 第二版 高中卷 不等式的解题方法与技巧 苏勇 熊斌 证明不等式的基本方法 P069 例01）

已知,求证:

分析由已知可得,我们要设法挖掘它与四次式间的关系.注意到要使中的奇次项不在的展开式中出现,可以配上与之相消,这样就找到了突破口.

证明

考虑和式:,不难发现它与左端恰好构成恒等式,即:
\begin{aligned} &\left(a+b\right)^{4}+\left(a-b\right)^{4}+\left(a+c\right)^{4}+\left(a-c\right)^{4}\\ +&\left(a+d\right)^{4}+\left(a-d\right)^{4}+\left(b+c\right)^{4}+\left(b-c\right)^{4}\\ +&\left(b+d\right)^{4}+\left(b-d\right)^{4}+\left(c+d\right)^{4}+\left(c-d\right)^{4}\\ =&6\left(a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}\right)^{2}.\qquad(**) \end{aligned}
由立刻证得成立.

2022-03-27-02

（来源: 数学奥林匹克小丛书 第二版 高中卷 不等式的解题方法与技巧 苏勇 熊斌 证明不等式的基本方法 P069 例02）

设与的边长分别为、、与、、,面积分别为、,又记

则对于,求证:.

证明

由海伦公式,有


记,,.则有恒等式
当时,,式即为

故结论成立.

同理原不等式对或也成立.

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