【图像处理】线性、位置不变退化图像的频域复原基础（维纳滤波，最小均方滤波，几何滤波）

线性、位置不变退化图像的频域复原基础

　　如果图像不仅包含噪声，还包含对原图的变化（退化），那么目标图像的函数为: g(x,y)=h(f(x,y))+n(x,y) g ( x , y ) = h ( f ( x , y ) ) + n ( x , y ) ，其中h是图像退化函数。如果 h(af1(x,y)+bf2(x,y))=ah(f1(x,y))+bh(f2(x,y)) h ( a f 1 ( x , y ) + b f 2 ( x , y ) ) = a h ( f 1 ( x , y ) ) + b h ( f 2 ( x , y ) ) ，那么说明退化函数是线性的；如果不考虑噪声，有 h(f(x+a,y+b))=g(x+a,y+b) h ( f ( x + a , y + b ) ) = g ( x + a , y + b ) ，那么说明退化函数是位置不变的，目标图像像素的位置和原图的是同步的。我们如果能够去除噪声，然后取h退化函数的逆操作，那么就可以还原回原始图像。
　　h退化函数可能是一个非常复杂的函数，局部空间滤波算子难以表示这种退化形式，亦难以求得逆变换对应的算子；而在频域上的则相对容易表示。二维数字图像是一种离散系统，每个像素点(a,b)可以表示为f(x,y)与δ(x-a,y-b)的卷积。在一维情况下有：

f(a)=∑−∞∞f(x)δ(x−a)　　g(a)=∑−∞∞h[f(x)δ(x−a)]=∑−∞∞f(x)h[δ(x−a)] f ( a ) = ∑ − ∞ ∞ f ( x ) δ ( x − a ) 　 　 g ( a ) = ∑ − ∞ ∞ h [ f ( x ) δ ( x − a ) ] = ∑ − ∞ ∞ f ( x ) h [ δ ( x − a ) ]

　　注意这里h是线性位置不变的算子。经过类似变换，目标图像表示为 g(x,y)=f(x,y)∗h(x,y)+n(x,y) g ( x , y ) = f ( x , y ) ∗ h ( x , y ) + n ( x , y ) ，在频域下有 G(u,v)=F(u,v)H(u,v)+N(u,v) G ( u , v ) = F ( u , v ) H ( u , v ) + N ( u , v ) ，这说明频域下图像复原是一个简单的初级运算，求得G就得到原图。但是实际使用的时候，我们很难得知噪声n和作用于原图的算子h，获取这些信息需要依靠工程师常年的经验和直觉。在获取噪声和作用于原图的算子信息之后，可以使用以下滤波方法复原图像:

1. 逆滤波。当图像没有噪声或者可以忽略不计的时候，只需要对目标图像G乘以算子H的倒数即可求出原图F，有 F(u,v)=G(u,v)/H(u,v) F ( u , v ) = G ( u , v ) / H ( u , v ) 。这里要注意的是，很多情况下H算子包含大量零值或极小值的元素，这些元素的倒数是很大的值，使得H算子包含很大的功率。我们可以定义零值或极小值的元素的倒数为0；此外因为零值或极小值的元素一般位于高频区域，能量主要集中在低频区域，所以也可以使用低通滤波器对H算子进行一次滤波，然后再进行逆滤波。
2. 最小均方误差滤波（维纳滤波），原理是最小化均方误差 e2=E{f−f~} e 2 = E { f − f ~ } ，形式推导如下：
   J=argmin12(FH−G)2−12CF2∂J∂F=0→F~(u,v)=[H(u,v)|∗H(u,v)∗H(u,v)+C]G(u,v) J = a r g m i n 1 2 ( F H − G ) 2 − 1 2 C F 2 ∂ J ∂ F = 0 → F ~ ( u , v ) = [ H ( u , v ) | ∗ H ( u , v ) ∗ H ( u , v ) + C ] G ( u , v )
   C是防止病态条件的修正参数。最终公式有：
   F~(u,v)=[1H(u,v)|H(u,v)|2|H(u,v)|2+Sη(u,v)/Sf(u,v)]G(u,v) F ~ ( u , v ) = [ 1 H ( u , v ) | H ( u , v ) | 2 | H ( u , v ) | 2 + S η ( u , v ) / S f ( u , v ) ] G ( u , v )
   其中 |H|2=HH∗ | H | 2 = H H ∗ 表示H的功率谱，计算方法是共轭相乘。 Sf(u,v)=|F(u,v)|2 S f ( u , v ) = | F ( u , v ) | 2 是原始图像功率谱， Sη(u,v)=|η(u,v)|2 S η ( u , v ) = | η ( u , v ) | 2 是噪声功率谱，他们组成了一个防止病态条件的约束。噪声功率谱需要进行估计，当没有噪声时，维纳滤波退化为逆滤波。在实际工程中这些参数很难获取，因此使用受限；此外维纳滤波推导的条件是原图和噪声都是随机平稳过程数据，因此实际应用中，维纳滤波效果不尽人意就不奇怪了。

3. 约束最小二乘滤波，推导同2，不同之处在于修正参数C变成二阶导的L2正则化项，即 γ|Δf|2 γ | Δ f | 2 。又因为图像是离散系统，可以将导数变为差分，继而转换为 γ|p⨁f|2 γ | p ⨁ f | 2 ，p是二阶导卷积核laplace算子。公式：

   F^(u,v)=[H∗(u,v)|H(u,v)|2+γ|P(u,v)|2]G(u,v) F ^ ( u , v ) = [ H ∗ ( u , v ) | H ( u , v ) | 2 + γ | P ( u , v ) | 2 ] G ( u , v )
   p(x,y)=⎡⎣⎢0−10−14−10−10⎤⎦⎥ p ( x , y ) = [ 0 − 1 0 − 1 4 − 1 0 − 1 0 ]
   其中P是laplace算子p的频域变换。为了获取 γ γ 的值，我们需要估计出图像噪声的均值和方差，然后计算出大概的噪声功率 |η|2=MN[δ2η+m2η] | η | 2 = M N [ δ η 2 + m η 2 ] ，然后进行如下迭代：
   • 计算偏差 R=G−HF^ R = G − H F ^ ， r r 是R R 的空间域变换形式。
   • 计算偏差功率 |r|2=∑M−1m=0∑N−1n=0r2(x,y) | r | 2 = ∑ m = 0 M − 1 ∑ n = 0 N − 1 r 2 ( x , y ) 。
   • 如果 |r|2−|η|2<−a | r | 2 − | η | 2 < − a 则增加 γ γ ， |r|2−|η|2>a | r | 2 − | η | 2 > a 则减小 γ γ ，然后从头执行。否则迭代收敛， γ γ 达到最优，此时输出图像是最优复原图像。 a a 是收敛阈值。

   整个迭代下降过程中，γ γ 的变化幅度如何设定有很多方法，比如感知器方法、梯度下降法以及最小均算法。相比维纳滤波，只需要估计出噪声（与原始图像不相关）的均值和方差，这可以从目标图像中估计出来，因此该方法使用相对广泛。

4. 几何均值滤波

   F^(u,v)=[H∗(u,v)|H(u,v)|2]α[H∗(u,v)|H(u,v)|2+β[Sη(u,v)/Sf(u,v)]]1−αG(u,v) F ^ ( u , v ) = [ H ∗ ( u , v ) | H ( u , v ) | 2 ] α [ H ∗ ( u , v ) | H ( u , v ) | 2 + β [ S η ( u , v ) / S f ( u , v ) ] ] 1 − α G ( u , v )
   其中 α,β α , β 是正实数，当 α=1 α = 1 ，原式退化为逆滤波；当 α=0,β=1 α = 0 , β = 1 原式是标准维纳滤波。

   维纳滤波和约束最小二乘滤波推导较复杂，将在后续给出。
   
   原始图像
   
   退化图像
   
   维纳滤波
   
   最小均方滤波
   https://github.com/artzers/NGImageProcessor BaseImageRestore.py