计算机组成原理 | 第六章：计算机的运算方法 | 进制转换 | 定点运算 | 浮点数运算

进位计数制

三要素：

• 数码：每个数位上允许的数的集合
• 基数：进制中允许每个数位上选用基本数码的个数
• 位权：数码“1”在不同数位上代表的数值

任意进制转十进制

• 按权相加法——将各位数码与权值相乘，再将各位的乘积值相加

十进制整数转换为n进制整数

除n取余法（倒序）

十进制小数转换为n进制小数

乘n取整法（正序）

二/八/十六进制的互换

分组，按位对应转换法

• 二进制数100010转换为八进制：将每3个二进制数分为一组（从左至右），不够时补0>

• 二进制数100111010转换为十六进制：将每4个二进制数分为一组（从左至右），不够时补0

• 八进制、十六进制互相转换——以二进制为中介

带符号的二进制数表示⭐️

两个基本概念

• 机器数：在计算机内部使用的，连同数符一起数码化了的数，称为机器数。
• 真值：机器数所代表的数的实际值，称为真值。

原码表示法

定点整数形式

定点小数形式

方法技巧

• 机器存储一个数时，“+"号编码为0，”-“号编码为1

• 数值部分：将一个数的绝对值转换为二进制

  结论：原码为符号位+数的绝对值，0正1负

应用示例

原码性质

• 0可分为+0和-0，有两个编码
• 符号和数值无关

补码表示法

定点整数形式

定点小数形式

ps：补码的符号位取反就是移码

方法技巧

若指明定长补码，符号位1位，数值部分要补足位数，保持大小不变

• “+"号编码为0，”-“号编码为1
• 数值部分（整数、小数均适用）
  • 对于正数，编码方式同原码
  • 对于负数，找到右数第一个“1“，这个“1"的左边都取反，右边（包括它自己）不变

应用示例

补码性质

• 在补码中，0有唯一的编码
• 补码适合于加减运算
  • $[X+Y{]}_{补}=[X{]}_{补}+[Y{]}_{补}$
  • $[X-Y{]}_{补}=[X{]}_{补}+[-Y{]}_{补}$
• 由$X_{补}$求$[-X{]}_{补}$
  • 对X的补码（连同符号位）求补得到

反码表示法

方法技巧

• 正数的反码符号位为0，数值部分就是真值
• 负数的反码符号位为1，数值部分由真值的数值部分按位取反（定长补足位数）

应用示例

0的反码表示不唯一

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⭕️小结

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数的定点表示和浮点表示

小数点按约定方式标出

定点表示

补码比原码反码多表示一个数（多了一个下界）

浮点表示

浮点数的表示形式

浮点数的表示范围

- 练习：设机器数字长为 24 位，欲表示±3万的十进制数，试问在保证数的最大精度的前提下，除阶符、数符各取1 位外，阶码、尾数各取几位？

浮点数的规格化⭐️

规格化规则

• 基数为2，尾数最高位为1
• 尾数应为纯小数，尾数的值不为0时，其绝对值应大于等于十进制的0.5而小于1
• 规格化过程(r=2)
  • 左规：尾数左移1位，阶码减1
  • 右规：尾数右移1位，阶码加1
    

补充例题——定点机和浮点机对比

定点运算⭐️

移位运算

有符号数的移位称为算术移位
无符号数的移位称为逻辑移位

算术移位规则（针对有符号数）

一道例题（关键就是规则对应）

逻辑移位规则（针对无符号数）

• 逻辑左移：低位添0，高位移丢
• 逻辑右移：高位添0，低位移丢

补码加减运算

公式：

溢出判断&&综合例题

定点原码一位乘法运算

• 时序控制乘法器：加法及移位，分多步进行
• 阵列乘法器：专门逻辑电路

时序控制乘法器存在问题及解决方案

• 符号问题❓
  • 定点原码乘法，符号位单独处理
  • 定点补码乘法，符号位可参与运算
• 多项部分积相加的处理❓
  • 将n位乘法转换为n次累加和n次移位
• 乘积的位数扩大一倍问题❓
  • 通过将不再累加的低位右移，加法器的位数无需补充

原码一位乘运算的基本原则

定点整数和定点小数的原码一位乘法运算相同

• 符号位单独处理
• 数值：两位数绝对值相乘
  • 若数据位为n，进行n步
  • 每一步：相加+逻辑右移
    • 针对相加：由乘数的末位决定被乘数是否与原部分积相加（若为0则加0）
• 上例子(对照原则细看）

定点补码一位乘法运算

理论上的方法：

• 校正法
  
• Booth算法
  
  
  实操运算原则
• 符号位和数值位一同参加运算
• 若数据位为n，进行n+1次加法，n次移位
• 每步的基本操作：相加＋算术右移(区别于原码一位乘的逻辑右移）
• 由乘数相邻两位的值决定相应操作，规则为：
  
• 上例子(对照原则细看）
  

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	原码乘法	补码乘法
符号位	运算结构的符号位需单独处理	运算结果的符号位符号位和数值位一同参加运算
判断位	乘数寄存器末位1位作判断位	乘数寄存器最末2位作判断位
加法和移位操作	乘数的数据位为n，原码乘法须做n次加法，n次移位	乘数的数据位为n，补码乘法须做n+1次加法，n次移位

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定点原码一位除法运算

原码恢复余数算法

算法规则

• Step1：首次计算余数：被除数绝对值 - 除数绝对值($[X^{\ast }{]}_{补}+[-Y^{\ast }{]}_{补}$）
• Step2：利用余数判断上商
  • 余数为正，上商为1；
  • 余数为负，上商为0，加除数的绝对值恢复原余数，即$+[Y^{\ast }{]}_{补}$
  • 假如数据位为n，则共需进行n+1次上商判断，n次移位
• Step3：计算新余数：[2×余数](逻辑左移）- 除数绝对值，转至Step2
• 若最后一步所得余数为负，还需恢复余数

上例子

加减交替法

算法规则

• Step1：首次计算余数：被除数绝对值 - 除数绝对值($[X^{\ast }{]}_{补}+[-Y^{\ast }{]}_{补}$）
• Step2：根据余数$r_i$的符号判断上商
  • 若$r_i>0$，上商$Q_i$为1，计算新余数：$2r_i-y^{\ast }$
  • 若$r_i<0$，上商$Q_i$为0，计算新余数：$2r_i+y^{\ast }$
  • $2r_i$即逻辑左移
• Step3：根据新余数再上商，假如数据位为n，则共需进行n+1次上商判断，n次移位
• 若最后一步所得余数为负，还需恢复余数
  上例子
  

浮点数运算⭐️

数的浮点表示详见上文

规格化数的判断

• 尾数为原码，不论正数、负数，第一数位为1
• 尾数为补码，符号位与第一数位不同
• 该判断法则有特例
  • S = -1/2 = -0.1000…000
    • $[S{]}_{补}=\mathrm{1.1000...000}$，非规格化形式，但其为规格化数
  • S = -1
    • $[S{]}_{补}=\mathrm{1.0000...000}$，符合规格化形式，但其并非为规格化数

浮点数运算

浮点加减运算

• Step1： 对阶
  
• Step2：尾数补码加减
• Step3：规格化
  • 规格化判断
  • 左规：尾数左移一位，阶码减1，直到数符和第一数位不同为止
  • 右规：当尾数溢出(>1)时，需右规
    上例子
    

浮点乘除运算

小结

本章掌握要点

• 掌握原反补码转换
• 掌握真值与浮点机器数的相互转换
• 定点数的补码加减运算，以及溢出判断
• 定点数的乘法（原码一位、补码一位）运算
• 除法加减交替运算
• 浮点数规格化
• 掌握浮点数的补码加减运算
• 了解浮点数的乘除运算步骤

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参考博客

进制的概念与转换（二进制、十进制、八进制、十六进制）