【运动控制】经典控制理论——PID控制

PID控制可以说是所有懂得控制的工程师所必须要了解的了，本篇博文将以单自由度为对象进行PID控制，并进行分析。
这里我们所控制的对象为，一个电机通过减速比带动一个连杆，电机的建模部分见-> 【运动控制】直流电机的建模与位置控制和力控制
这里折算后的关节模型为：
$$P(s)=\frac{b}{s(s+a)}$$

P控制

控制框图如下：

其中上面的部分表示杆的重量所带来的干扰（只考虑了重力）
在不考虑干扰的情况下，这个系统可以等价为一个二阶系统，因此我们可以通过调节Kp来实现临界阻尼，过阻尼，临界阻尼和欠阻尼如图

我们用终值定理来分析稳态误差，可知Kp控制器在不考虑干扰的情况下，能够追随指令值，如下图只要时间足够久，目标就可以实现。

干扰对系统的影响可以根据干扰的传递函数来进行分析，这里使用simulink
考虑干扰的情况

可以看出实际上偏差很大，也就是说“杆子太重了，把电机压下去了”。
下面分析Kp的影响，通过传递函数我们知道，Kp越大，干扰的影响将会越小。此外Kp增大将会提高系统的固有频率，阻尼系数相同，固有频率越大系统反应越快。如下图：

但是Kp不能无穷大，因为Kp的增大会带来阻尼系数的变小，这样会导致系统不稳定。

所以可以得出结论：P控制，P越大响应速度越快（wn变大），但是系统的稳定性会变差（欠阻尼）。

PD控制

由于P控制会产生超调，因此我们可以增加一个阻尼项，来调节暂态的反应。
PD控制器控制目标对象的框图如下所示：

当Kv=0时：

当Kv!=0时：

可以看出原本欠阻尼的系统，恢复了稳定性。
由P控制章节可知Kp的选择尽量的大，但是Kp过大会导致执行机构饱和，这里我们看一下PD模块之后输出的示波器，

可以看出，PD模块产生了很大的输出，这会导致执行机构饱和，从而限制了性能。
实际上实际工程中一般使用的是P-D控制（先行微分控制）
，控制框图如下所示：

控制表现如下：

PD输出如下：

可以看出超调消失了，系统变得更加稳定。
Kv的引入实际上增加了系统的阻尼，因此可以进一步的调大Kp，缩减上升时间，减少干扰的影响，而又不会降低系统的稳定性。
我们将P-D控制系统调节至临界阻尼：

可以看出通过P-D控制，和P控制相比：

• 减小了超调
• 减小了上升时间（50s->1s）
• 减小了稳态误差，实际上仍然有稳态误差，见下图：
  

PI-D控制

为了减少稳态误差，于是引入了PI-D控制（在P-D控制的基础上），控制框图如下：

I的引入能够很好的消除干扰造成的稳态误差（理论上I越大，干扰造成的稳态误差越小），但是积分项同时为传递函数引入了0点这就造成了超调，并且导致收敛时间变长，导致积分饱和等问题，而且系统的传递函数将变成一个三阶系统比较复杂，因此在机器人控制中一般不使用积分项来进行控制。
这里给出相同条件下的PI-D控制的控制效果：

系统输入如下：

I-PD控制

为了消除PI-D控制带来的超调的影响，这里引入了I-PD控制，控制框图如下

控制效果如下：

驱动输入如下：

可以看出，系统输入趋于温和，超调现象也得到了减轻。

TODO

• 目前参数的调节还是定性分析之后会增加频域分析
• 零点为什么会引起超调
• 定量分析积分项不适用于机器人系统