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贝塞尔函数及其应用贝塞尔函数及其应用

题目： 贝塞尔函数及其应用

摘 要

贝塞尔方程是在柱坐标或球坐标下使用分离变量法求解拉普拉斯方程时得到的，因此它在波动问题以及各种涉及有势场的问题的研究中占有非常重要的地位。贝塞尔函数是贝塞尔方程的解。它在物理和工程中，有着十分广泛的应用。

本文首先通过一个物理问题引入贝塞尔方程，并求出贝塞尔方程的解，即贝塞尔函数。其次列出了贝塞尔函数的几个重要的结论，如递推公式，零点性质等，并对他们进行了深入的分析。第二部分主要介绍了傅里叶-贝塞尔级数，通过matlab编程对函数按傅里叶-贝塞尔级数展开之后的图像进行分析，得到了它们的逼近情况。最后一部分介绍了贝塞尔函数的几个重要应用，一个是在物理光学中的应用，着重分析了贝塞尔函数近似公式的误差；一个是在信号处理中调频制的应用，得到了特殊情况下的公式算法。

关键词：贝塞尔函数，傅里叶-贝塞尔级数，渐近公式

目 录

一、 起源1

(一) 贝塞尔函数的提出1

(二) 贝塞尔方程的引出1

二、 贝塞尔函数的基本概念4

(一) 贝塞尔函数的定义4

1. 第一类贝塞尔函数5

2. 第二类贝塞尔函数7

3. 第三类贝塞尔函数10

4. 虚宗量的贝塞尔函数10

(二) 贝塞尔函数的递推公式11

(三) 半奇数阶贝塞尔函数13

(四) 贝塞尔函数的零点14

(五) 贝塞尔函数的振荡特性16

三、 Fourier-Bessel级数16

(一) 傅里叶-贝塞尔级数的定义16

(二) 将函数按傅里叶-贝塞尔级数展开17

四、 贝塞尔函数的应用24

(一) 贝塞尔函数在光学中的应用24

(二) 贝塞尔函数在调频制中的应用26

附录30

起源

贝塞尔函数的提出

随着科学技术的发展，数学的应用更为广泛。在许多科技领域中，微积分及常微分方程已经不能够满足我们的需要，数学物理方程理论已经成为必须掌握的数学工具。它们反映了未知函数关于时间的导数和关于空间变量的导数之间的制约关系，同时刻画了物理现象和过程的基本规律。它的重要性，早在18世纪初就被人们认识。在1715年，泰勒将弦线的横向振动问题归结为著名的弦振动方程。以后，伯努利从弦发出声音的事实，得出该方程的三角级数解。在此基础上，傅里叶在理论上完成了解此方程的方法。同时欧拉和拉格朗日在研究流体力学、拉普拉斯在研究势函数、傅里叶在研究热传导等物理问题中，导出了一系列重要的数学物理方程及其求解方法，取得了重要的成就。而这其中，18世纪中叶由瑞士数学家丹尼尔·伯努利在研究悬链振动时提出丹尼尔的叔叔雅各布·伯努利，欧拉、拉格朗日等数学大师对贝塞尔函数的研究作出过重要贡献。1817年，德国数学家贝塞尔在研究开普勒提出的三体引力系统的运动问题时，第一次系统地提出了贝塞尔函数的总体理论框架，后人以他的名字来命名了这种函数?

贝塞尔函数是一类特殊函数的总称，贝塞尔方程是在圆柱坐标或球坐标下使用分离变量法求解拉普拉斯方程和亥姆霍兹方程时得到的(在圆柱域问题中得到的是整阶形式；在球形域问题中得到的是半奇数阶形式，因此贝塞尔函数在波动问题以及各种涉及有势场的问题中占有非常重要的地位，其中最典型的问题有：在圆柱形波导中的电磁波传播问题；圆柱体中的热传导问题；圆形(或环形)薄膜的振动模态分析问题等。

贝塞尔方程的引出

有圆形薄盘，上下两面绝热，圆盘边界上的温度始终保持为0，且初始温度分布已知，求圆盘内的瞬时温度分布规律。

设圆形薄盘的半径为R，这个问题可以归结为求解下列问题：

应用分离变量法求这个问题的解，为此令

为第一个方程的非零解，代入该方程得

化简并引入参数得

由此我们得到下面关于函数T(t)和V(x,y)的方程

, (1-1)

, (1-2)

由式(1-1)得

方程(1-2)称为Helmholtz方程，为了求出这个方程满足边界条件

的非零解，我们采用平面上的极坐标系，则该定解问题转化为

(1-3)

. (1-4)

再令，代入方程(1-3)得

,

引入参数

,

于是有

, (1-5)

. (1-6)

由于温度函数是单值的，所以也必是单值函数，而与在极坐标系表示同一点，因此应该是以2为周期的函数，即，这就决定了，由此该方程(1-5)的解为

， (为常数)，

，

将代入方程(