matlab求傅里叶级数展开式_明明学过积分和三角函数就能秒理解傅里叶变换.........

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<前言>

傅里叶分析之掐死教程,我看了,说实话我觉得有点绕,如果没学过傅里叶变换我觉得不可能看一遍就懂,估计会卡死很久。尤其是那些矢量图和大海螺旋图,让我一脸懵逼,怀疑自己没学过傅里叶变换。

Heinrich:傅里叶分析之掐死教程(完整版)更新于2014.06.06​zhuanlan.zhihu.com
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仔细一想,作者说“要让读者在不看任何数学公式的情况下理解傅里叶分析”。这就麻烦了,数学语言简洁直接,要最快理解显然应该不应该走这条路,而应该先把相关的数学知识搞清楚到能理解傅里叶变换的程度。

当然像作者这样去讲述也是很棒的(尤其是我引用的那张图,很清晰),但是我总觉得这样会使已经有一点数学基础的人看的更晕,没有数学基础的同学也不可能很快理解。

<正文>

我们可以将任意信号强度随时间变化的规律写成函数f(x),x表示时间。

任意信号往往非常复杂毫无规律,难以用数学式表示,于是我们希望将函数f(x)分解为几个简单的函数相加的形式,分解如下表示:

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我们自然希望找到一种分解(选择一种合适的基底函数),能够很方便地求出系数c_n。数学家告诉我们三角函数、复指数函数正是合适的基底函数。

利用三角函数系或复指数函数系展开的函数级数被称为傅立叶级数。

周期为T的函数f(x)傅里叶级数展开如下:

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数学家(知道我们不会算)同时告诉了我们系数:

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式中a_n, b_n是傅立叶系数,ω为基频,与周期T或频率f的关系是ω=2π/T=2πf。

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补充一下振幅和相位的定义

把频率作为x轴(数值用n表示),把振幅An作为y轴,可以画出频谱图(幅度谱):

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(随便取的数值)

利用频谱图还可以直观地分析各谐波分量的组成以及比重。当然还有相位谱图,频率作为x轴(数值用n表示),相位φ作为y轴就好了。

如上所述,我们可以将一个复杂的周期性信号分解成几个简单的简谐波叠加。

(把复杂的波形变成如上几根线段,真是太爽了!)

那非周期性函数怎么办?非周期函数的傅立叶展开式,周期无限大,采用傅立叶积分。

傅立叶积分是傅立叶级数取极限得到的,推导过程如下图所示:

(前方复指数函数警告,没学过可以跳过下图推导)

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(非周期拿几个简谐波叠加凑不好,那就多几个,无限多个来个积分总够了吧!)

对比一下傅里叶级数的式子:

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非周期信号的F(f)就是周期性信号的An(也就是一开始说的系数)。

非周期信号和周期性信号的区别就在于频谱是否连续:

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(两图的数值都是乱定的)

<总结一下>

所以呢,傅里叶变换就是在分解一个函数的过程中,某个叫傅里叶的人发现某种分解方式特别简洁好算,然后就把这种分解方式(变换)命名为傅里叶变换。

从数学上理解,就是把一个函数写成几个(或者无限个,取个极限)函数(三角函数或复指数函数)相加的过程。

从信号处理的角度来理解,就是把一个在时域上非常复杂的信号函数(随时间变化非常复杂),转变为在频域上相对简单便于处理的频谱函数的过程。

下图非常直观地表现了这一过程。基底函数是三角函数,原始信号函数前面那个是图像类似于矩形波的函数。如果要分解真正的矩形波(显然是非周期函数),频谱图像就是连续的。

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很多时候会把f写成u:

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还有傅里叶反(逆)变换:

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傅立叶变换是互逆的,唯一的。如果没有这一性质,就不能将一个时域的函数变换为频域进行分析,再变换回时域。

值得注意的是,上文我们以信号随时间的变化举例来理解一维的傅里叶变换,或者说应用一维傅里叶变换处理随时间变换的信号问题。但是傅里叶变换在数学上仅仅是一个函数变换,具体变量的含义并无规定。

<遥感数字图像处理原理课的复习>

通过“处理时间信号”的例子,现在我们已经理解了傅里叶变换。很容易将傅里叶变换拓展至多维。二维函数的傅立叶变换和反变换分别定义为:

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处理静态二维图像需要使用二维傅里叶变换。

f(x,y)是一幅图像,F(u,v)是它的傅立叶变换。u, v是傅立叶变换的空间频率。

对比一下利用一维傅里叶变换处理时间信号:

  • 一维傅里叶变换(处理时间信号):时域的函数变换为频域,进行分析,再变换回时域。
  • 二维傅里叶变换(处理二维图像):空域的函数变换为频域,进行分析,再变换回空域。

应该不难理解。

空间频率在上一节课《数字图像处理的光学基础》中已经讲过,可以理解为等相位线在x,y坐标投影的截距的倒数。对于图像信号,空间频率是指单位长度内亮度作周期性变化的次数。

空间频率的概念在图像处理中十分重要。了解噪声、线、细节、背景或平滑区域等对应的空间频率特性,才能更好地对图像进行处理。

空间频率知识细节对应到光学,涉及阿贝成像理论:

物体经过光学系统到像经历了两个过程:

(1)物经过光学系统后,在它的后焦面上形成衍射图样(夫琅和费衍射)。

(2)以衍射图样为次波波源,在像平面上产生振幅叠加而构成了物的像。

这两个过程分别对应傅立叶正变换和傅里叶反变换。阿贝在数学上证明了,二次成像过程就是对二维光场的复振幅进行正、反两次傅立叶变换的过程。

第一次是把光场复振幅的空间分布,变成光学系统后焦面上的空间频率的分布。

第二次的作用是把空间频率分布还原成光场复振幅的空间分布。

光的二次傅立叶变换,是数字图像处理中改善图像质量的光学理论基础。

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