poj 2154 Color < 组合数学+数论>

链接：http://poj.org/problem?id=2154

题意：给出两个整数 N 和 P，表示 N 个珠子，N种颜色，要求不同的项链数， 结果 %p ~

思路： 利用polya定理解~定理内容：

设是n个对象的一个置换群, 用m种颜色染图这n个对象，则不同的染色方案数为：

其中

，

为

的循环节数~

 

 

本题只有旋转一种置换方式，那么共有 N 个置换， 每个置换的循环节为 gcd(N,i)~

那么结果为 ∑(N^(gcd(N, i))) %P。  N为 1e9, 不能枚举 i , 但我们可以统计 gcd(N,i)==a 的有多少个~

令L==N/a, i==a*t,  即 a==gcd(N, i)==gcd(L*a, t*a), 此时只要满足 gcd(L, t)==1即可. 而1<=i<=N 即 1<=t<=N/a==L~

所以t的个数为 L 的欧拉函数,  所以 结果为:∑(Euler(L)*(n^(N/L)))%p ,为了避免最后做除法结果可化为∑(Euler(L)*(n^(N/L-1)))%p。

 1 #include <iostream>

 2 #include <cstdio>

 3 using namespace std;

 4 const int MN = 5e4;

 5 typedef long long LL;

 6 int a[MN],p[MN], T, N, M, k;

 7 LL P_M( int a, int b )

 8 {

 9     LL res=1, t=(LL)a%M;

10     while(b){

11         if(b&1)res=(res*t)%M;

12         t=(t*t)%M;

13         b>>=1;

14     }

15     return res;

16 }

17 void getp( )

18 {

19     for( int i=3; i*i<=MN; i+=2 ){

20         if(!a[i])

21         for( int j=i+i; j<=MN; j+=i )

22             a[j]=1;

23     }

24     p[0]=2, k=1;

25     for( int i=3; i<MN ; i+=2 )

26         if(!a[i]) p[k++]=i;

27 }

28 int Euler( int x)

29 {

30     int res=x;

31     for( int i=0; i<k&&p[i]*p[i]<=x; ++ i ){

32         if(x%p[i]==0){

33             res=res/p[i]*(p[i]-1);

34             while(x%p[i]==0){

35 

36                  x=x/p[i];

37             }

38         }

39     }

40     if(x>1)

41         res=res/x*(x-1);

42     return res;

43 }

44 int main( )

45 {

46     getp();

47     scanf("%d", &T);

48     while(T--){

49         scanf("%d%d", &N, &M);

50         int i;

51         LL ans=0;

52         for( i=1; i*i<N; ++ i ){

53 

54             if(N%i==0){

55                   ans+=(LL)Euler(i)%M*P_M(N, N/i-1);

56                   ans%=M;

57                   ans+=(LL)Euler(N/i)%M*P_M(N, i-1);

58                   ans%=M;

59             }

60 

61         }

62         if(i*i==N){

63             ans+=(LL)Euler(i)%M*P_M(N, i-1);

64             ans%=M;

65         }

66         printf("%lld\n", ans);

67     }

68     return 0;

69 }

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