混合正弦余弦算法和Lévy飞行的麻雀算法

一、理论基础

1、基本麻雀搜索算法

请参考这里。

2、混合正弦余弦算法和Lévy飞行的麻雀算法(ISSA)

（1）融合正弦余弦算法(SCA)思想

基本SSA算法中，在$R_2<ST$时，发现者随着迭代次数的进行，麻雀个体每一维都在变小，搜索空间逐渐减小，增大了坠入局部空间的概率，为改善此问题，在发现者位置更新方式中融合正弦余弦(SCA)算法思想，并引入非线性正弦学习因子，在搜索前期，具有较大的值，有助于全局探索，在搜索后期，具有较小的值，有助于提升局部开拓能力，提高精确度。学习因子公式和改进后的发现者位置公式如下：$$w=w_{min}+(w_{max}-w_{min})\cdot \sin (t\pi /ite{r}_{max})\text{\hspace{1em}(1)}$$$$X_{i,j}^{t+1}=\{\begin{array}{l}(1-w)\cdot X_{i,j}^t+w\cdot \sin (r_1)\cdot |r_2\cdot X_{best}-X{i,j}^t|,R_2<ST\\ (1-w)\cdot X_{i,j}^t+w\cdot \cos (r_1)\cdot |r_2\cdot X_{best}-X{i,j}^t|,R_2\ge ST\end{array}\text{\hspace{1em}(2)}$$式(8)中，$r_1$为$[0,2\pi ]$内的随机数，$r_2$为$[0,2]$内的随机数。

（2）Lévy飞行策略

当发现者迭代一定次数且适应度值不变时，此时跟随者成了发现者，为避免算法陷入局部最优，在跟随者更新公式中引入Lévy飞行策略，提高全局搜索能力。改进后的公式如下：$$X_{i,j}^{t+1}=\{\begin{array}{l}Q\cdot \exp \left(\frac{X_{worst}^t-X_{i,j}^t}{i^2}\right)i>\frac{n}{2}\\ X_p^{t+1}+X_p^{t+1}\oplus Levy(d)otherwise\end{array}\text{\hspace{1em}(3)}$$其中，$X_p^{t+1}$是当前发现者占领的最优位置。
Lévy飞行的机制请参考这里。

二、ISSA算法流程图

图1 ISSA算法流程图

三、算法性能测试

为验证ISSA算法的有效性，以及发现者比例对算法性能的影响，选取粒子群算法(PSO)、灰狼优化算法(GWO)、飞蛾火焰算法(MFO)、基本麻雀算法(SSA)以及改变发现者比例的两种麻雀算法SSA1、SSA2 进行对比。算法参数设置如表1所示：

表1 参数设置表

表2位常用的8个基准测试函数。

表2 基准测试函数

注：f8是2维，现更正
一个基准测试函数上独立运行30次。下图为F1~F8的收敛曲线对比图。
最大值、最小值、平均值及标准差显示如下：

函数：F1
GWO：最大值: 0.022279,最小值:0.00092834,平均值:0.005218,标准差:0.0042906
PSO：最大值: 2741.5836,最小值:363.5828,平均值:1477.1141,标准差:570.8515
MFO：最大值: 16933.8998,最小值:4025.8665,平均值:10305.4706,标准差:3612.337
SSA：最大值: 2.0306e-35,最小值:0,平均值:6.7687e-37,标准差:3.7074e-36
SSA1：最大值: 2.5991e-18,最小值:9.8735e-272,平均值:8.7246e-20,标准差:4.7443e-19
SSA2：最大值: 6.5598e-66,最小值:0,平均值:2.3334e-67,标准差:1.1967e-66
ISSA：最大值: 8.6414e-123,最小值:3.4652e-130,平均值:4.7172e-124,标准差:1.6137e-123
函数：F2
GWO：最大值: 0.32478,最小值:0.096963,平均值:0.19193,标准差:0.064504
PSO：最大值: 73.3565,最小值:46.5177,平均值:55.9762,标准差:5.2107
MFO：最大值: 570.5601,最小值:125.8508,平均值:191.2388,标准差:75.4
SSA：最大值: 1.8856e-16,最小值:3.784e-120,平均值:6.5381e-18,标准差:3.4405e-17
SSA1：最大值: 3.5996e-08,最小值:3.4841e-57,平均值:3.4397e-09,标准差:9.3317e-09
SSA2：最大值: 4.5494e-33,最小值:0,平均值:1.5196e-34,标准差:8.3055e-34
ISSA：最大值: 1.2586e-60,最小值:4.2612e-64,平均值:2.3047e-61,标准差:3.0634e-61
函数：F3
GWO：最大值: 102848.065,最小值:38169.3252,平均值:63335.7687,标准差:13517.8142
PSO：最大值: 215231.2073,最小值:59475.1398,平均值:121778.773,标准差:42480.0679
MFO：最大值: 579577.1315,最小值:231705.7404,平均值:404113.4675,标准差:97583.1362
SSA：最大值: 1.0786e-26,最小值:0,平均值:3.5953e-28,标准差:1.9692e-27
SSA1：最大值: 2.0428e-13,最小值:1.0295e-144,平均值:8.5485e-15,标准差:3.8101e-14
SSA2：最大值: 1.6843e-35,最小值:0,平均值:5.6144e-37,标准差:3.0751e-36
ISSA：最大值: 1.8178e-104,最小值:1.5078e-116,平均值:6.0642e-106,标准差:3.3187e-105
函数：F4
GWO：最大值: 126.1756,最小值:6.1017,平均值:21.4325,标准差:35.9099
PSO：最大值: 18951715.324,最小值:12667.9681,平均值:1125831.0405,标准差:3431439.0199
MFO：最大值: 152249.7817,最小值:880.2497,平均值:19962.7372,标准差:34323.6352
SSA：最大值: 0.006041,最小值:1.2822e-06,平均值:0.000989,标准差:0.0014519
SSA1：最大值: 0.0029553,最小值:2.1975e-08,平均值:0.00027328,标准差:0.00055568
SSA2：最大值: 0.0062152,最小值:4.4576e-06,平均值:0.0011461,标准差:0.0017177
ISSA：最大值: 0.028434,最小值:1.4953e-05,平均值:0.0031644,标准差:0.0058409
函数：F5
GWO：最大值: 2.6696,最小值:0.90234,平均值:1.608,标准差:0.45913
PSO：最大值: 789.6813,最小值:231.5663,平均值:451.8055,标准差:132.8068
MFO：最大值: 7522.2637,最小值:4953.7679,平均值:6281.3394,标准差:592.977
SSA：最大值: 0.0025406,最小值:8.935e-05,平均值:0.0012459,标准差:0.00074506
SSA1：最大值: 0.011599,最小值:7.3676e-05,平均值:0.0023874,标准差:0.0027949
SSA2：最大值: 0.0053441,最小值:4.6881e-05,平均值:0.0012048,标准差:0.0012694
ISSA：最大值: 0.002631,最小值:8.0743e-07,平均值:0.00085138,标准差:0.00071482
函数：F6
GWO：最大值: 91.0105,最小值:28.5954,平均值:48.4467,标准差:13.4131
PSO：最大值: 260.2053,最小值:156.5665,平均值:187.8549,标准差:22.9038
MFO：最大值: 300.7532,最小值:177.2899,平均值:223.2052,标准差:29.8382
SSA：最大值: 0,最小值:0,平均值:0,标准差:0
SSA1：最大值: 0,最小值:0,平均值:0,标准差:0
SSA2：最大值: 0,最小值:0,平均值:0,标准差:0
ISSA：最大值: 0,最小值:0,平均值:0,标准差:0
函数：F7
GWO：最大值: 0.3515,最小值:0.081312,平均值:0.17591,标准差:0.071789
PSO：最大值: 11.8173,最小值:8.8329,平均值:10.0263,标准差:0.74675
MFO：最大值: 20.264,最小值:19.2077,平均值:19.9746,标准差:0.25369
SSA：最大值: 8.8818e-16,最小值:8.8818e-16,平均值:8.8818e-16,标准差:0
SSA1：最大值: 4.977e-10,最小值:8.8818e-16,平均值:2.6324e-11,标准差:9.6197e-11
SSA2：最大值: 8.8818e-16,最小值:8.8818e-16,平均值:8.8818e-16,标准差:0
ISSA：最大值: 8.8818e-16,最小值:8.8818e-16,平均值:8.8818e-16,标准差:0
函数：F8
GWO：最大值: -1.0305,最小值:-1.0316,平均值:-1.0316,标准差:0.00021157
PSO：最大值: -1.0316,最小值:-1.0316,平均值:-1.0316,标准差:6.2532e-16
MFO：最大值: -1.0316,最小值:-1.0316,平均值:-1.0316,标准差:4.7373e-16
SSA：最大值: -1.0316,最小值:-1.0316,平均值:-1.0316,标准差:1.8264e-08
SSA1：最大值: -1.0316,最小值:-1.0316,平均值:-1.0316,标准差:5.9323e-09
SSA2：最大值: -1.0316,最小值:-1.0316,平均值:-1.0316,标准差:4.7267e-09
ISSA：最大值: -1.0316,最小值:-1.0316,平均值:-1.0316,标准差:2.9263e-07

由此可以看出，ISSA算法除了在F4和F8表现略微不佳之外，其余6个测试函数均取得了很好的效果，可以表明，ISSA寻优精度和求解效率得到较大提升。

四、参考文献

[1] 毛清华, 张强, 毛承成, 等. 混合正弦余弦算法和Lévy飞行的麻雀算法[J]. 山西大学学报(自然科学版), 2021, 44(6): 1086-1091.