第二类换元法倒代换专项训练

前置知识：第二类换元法

题1： 计算$\int \frac{1}{x^{10}+x}dx$

解：
\qquad 令$x=\frac{1}{t}$，$t=\frac{1}{x}$，$dx=-\frac{1}{t^2}dt$

\qquad 原式$=\int \frac{1}{\frac{1}{t^{10}}+\frac{1}{t}}\cdot (-\frac{1}{t^2})dt=-\int \frac{t^8}{1+t^9}dt$

$=-\frac{1}{9}\ln (1+t^9)+C=-\frac{1}{9}\ln (1+\frac{1}{x^9})+C$

题2： 计算$\int \frac{1}{x(x^7+1)}dx$

解：
\qquad 令$x=\frac{1}{t}$，$t=\frac{1}{x}$，$dx=-\frac{1}{t^2}dt$

\qquad 原式$=\int \frac{1}{\frac{1}{t^8}+\frac{1}{t}}\cdot (-\frac{1}{t^2})dt=-\int \frac{t^6}{1+t^7}dt$

$=-\frac{1}{7}\ln (1+t^7)+C=-\frac{1}{7}\ln (1+\frac{1}{x^7})+C$

题3： 计算$\int \frac{1}{(1+x)\sqrt{1-x-x^2}}dx$

解：
\qquad 令$1+x=\frac{1}{t}$，$t=\frac{1}{1+x}$，$dx=-\frac{1}{t^2}dt$

\qquad 原式$=\int \frac{1}{(1+x)\sqrt{1+(x+1)-(x+1{)}^2}}dx=\int \frac{1}{\frac{1}{t}\sqrt{1+\frac{1}{t}-\frac{1}{t^2}}}\cdot (-\frac{1}{t^2})dt$

$=-\int \frac{1}{\sqrt{t^2+t-1}}dt=-\int \frac{1}{\sqrt{(t+\frac{1}{2}{)}^2-\frac{5}{4}}}dt$

$=-\ln |(t+\frac{1}{2})+\sqrt{t^2+t-1}|+C$

$=\ln |\frac{3+x+2\sqrt{1-x-x^2}}{2(1+x)}|+C$

由直接积分法可得$\int \frac{dx}{\sqrt{x^2-a^2}}=\ln |x+\sqrt{x^2-a^2}|+C$，同样也可得$\int \frac{dx}{\sqrt{(x+k{)}^2-a^2}}=\ln |(x+k)+\sqrt{(x+k{)}^2-a^2}|+C$。
所以解题过程中$-\int \frac{1}{\sqrt{(t+\frac{1}{2}{)}^2-\frac{5}{4}}}dt=-\ln |(t+\frac{1}{2})+\sqrt{t^2+t-1}|+C$

总结

观察被积函数，若分母比较复杂，令$x=\frac{1}{t}$，有时可以令$x+a=\frac{1}{t}$，然后进行转换，利用被积函数的特性来求解。