素数筛(线性筛法)

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前言

一、什么是线性筛法？

二、原理是什么？

1.最小质数

2.剔除非质数

3.如何保证不重复剔除非质数？

三、代码实现

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前言

介绍线性筛法的理论基础及其代码实现

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提示：以下是本篇文章正文内容，下面案例可供参考

一、什么是线性筛法？

线性筛法是指在O(n)的复杂度情况下，筛选出所给数的所有质数

二、原理是什么？

1.最小质数

由公理可知，n都可以被分解为多个质数的乘积，那么，在这些质数中，我们总能找到一个最小的数x，那么x就是n的最小质数

2.剔除非质数

既然有了最小质数x，针对每一个数，我们只需要从2开始，逐条对2-n进行遍历（假设我们此时遍历到的数是i），如果发现i%x=0，

那么我们就知道这个数要被剔除掉因为它可以被至少两个数的乘积表示（不满足质数的定义）

3.如何保证不重复剔除非质数？

我们知道，45可以是3*15，或者是是5*9，如果我们按照第二步的想法，必将重复筛掉45两次，如果n足够大，这将会有很多重复操作，是不可接受的

那么我们该怎么做？

很简单，我们只要保证如一开始所说的，让45被他的最小质数（3）给筛掉就行，那么又该怎么做？

if(i%pri[j]==0)break;

这句话有什么意义？我们来打个比方，如果此时的i=4，即12=2*2*3=3*4，我们需要让12被2给筛掉

那么当pri[j]=2时，我们就要停止这个for循环了，为什么要这么做？

vis[pri[j]*i]=1;

很简单，因为i此时能被2（i=12=2*2*3），那么我们可不可以断言，x = pri[j] * i = pri[j] * 2 * k

 (也就是说x的最小质数是2)也可以被2给表示？

答案是肯定的，由此我们可以推断，我们此时不break，就会在这次循环筛掉12（3*4，通过3筛掉12）

但是下一轮循环我们又会通过2*6筛掉12，这显然不符合我们的目的，保证每个数被筛一次，所以我们只要

确保每个数被自己的最小质数筛掉，换言之，就是当i能被当前的质数整除时（当前整数就是i的最小质数），

就break，这样后面的数（后面所有含有i的数不会被当前循环筛掉）就不会被重复筛掉。

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三、代码实现

int pri[N+9>>1],now;
bool vis[N+9];
void init(){
    for(int i=2;i<=N;i++){
        if(!vis[i])pri[++now]=i;
        for(int j=1;j<=now&&pri[j]*i<=N;j++){
            vis[pri[j]*i]=1;
            if(i%pri[j]==0)break;
        }
    }
}